Resolva:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' = 0.
Aqui o conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas e vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Associamos à equação diferencial o polinômio característico obtido trocando y'' por r^2, y' por r e y por 1:
r^2 + 2r = 0.

Passo 3

Resolvemos o polinômio característico
r^2 + 2r = r(r + 2) = 0
logo as raízes são
r_1 = 0 \quad\text{e}\quad r_2 = -2.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-2x} = C_1 + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-2x}.

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