Resolva:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 2y' - 3y = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma esta ODE numa equação algébrica em r.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y = e^{rx}:
r^2 - 2r - 3 = 0.

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática:
r^2 - 2r - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}.
Logo os raízes são
r_1 = 3, \quad r_2 = -1.

Passo 4

Como as raízes são distintas reais, a solução geral da ODE é dada por
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}.

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