Determine a solução do PVI
y^prime prime+y=f(x), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y''+y=f(x),
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
O conteúdo é resolver uma EDO linear com coeficientes constantes usando variação de parâmetros (ou função de Green/convolução).

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea
y''+y=0
As soluções fundamentais são
phi1(x)=cos x, phi2(x)=sin x

Passo 3

Usamos variação de parâmetros: procuramos
com
Resolvendo esse sistema vetorial obtemos
Integrando de :

Passo 4

Substituindo em yp:
yp(x)=-cos xintegral0^xsin t,f(t),dt +sin xintegral0^xcos t,f(t),dt
Agrupando como convolução, note que
sin xcos t-cos xsin t=sin(x-t),
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yp(x) =integral0^xsin(x-t),f(t),dt

Passo 5

Verificamos as condições iniciais:
y(0)=integral0^0sin(0-t),f(t),dt=0,
e derivando
y'(x)=integral0^xcos(x-t),f(t),dt
y'(0)=0.
Como essa expressão satisfaz a EDO e as CC, pela unicidade ela é a solução.

Resposta

y(x)=integral0^xsin(x-t),f(t),dt

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