Dada uma elipse
, ache o retângulo inscrito de área máxima. Mostre que a razão entre a área do retângulo de área máxima e a área da elipse é
.
Passo 1
O problema é achar, na elipse
o retângulo de vértices
que maximiza a área. Vamos usar cálculo (derivadas) para encontrar o máximo de uma função de uma variável.
Passo 2
Se o retângulo tem vértices
, sua área é
Como
está na elipse, temos
Logo a área em função de
é
Passo 3
Para maximizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero. Usando regra do produto e cadeia,
Igualando
dá
Passo 4
Substituindo
na elipse, vem
Então a área máxima é
A área da elipse é
. Portanto a razão pedida é
Resposta
A razão entre a área do retângulo inscrito de área máxima e a área da elipse é
.