Dada uma elipse (xa)^2+(yb)^2=1, ache o retângulo inscrito de área máxima. Mostre que a razão entre a área do retângulo de área máxima e a área da elipse é 2pi=0,6366.

Passo 1

O problema é achar, na elipse
l(xar)^2 + l(ybr)^2 = 1,
o retângulo de vértices (pm x,pm y) que maximiza a área. Vamos usar cálculo (derivadas) para encontrar o máximo de uma função de uma variável.

Passo 2

Se o retângulo tem vértices (pm x,pm y), sua área é
A = (2x),(2y) = 4,x,y
Como (x,y) está na elipse, temos
y = b,raiz1 - x^2a^2
Logo a área em função de x é
A(x) = 4,x,b,raiz1 - x^2a^2

Passo 3

Para maximizar A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero. Usando regra do produto e cadeia,
A'(x) =4bl[raiz1-tfracx^2a^2 + xcdot12raiz1-tfracx^2a^2cdotl(-tfrac2xa^2r)r] =4b1-tfrac2x^2a^2raiz1-tfracx^2a^2
Igualando A'(x)=0
1 - 2x^2a^2 = 0 Longrightarrow x^2 = a^22 Longrightarrow x = araiz2

Passo 4

Substituindo x=tfracaraiz2 na elipse, vem
y = b,raiz1 - 1/21 = braiz2
Então a área máxima é
Amax =4cdotaraiz2cdotbraiz2 =2,a,b
A área da elipse é pi a b. Portanto a razão pedida é
AmaxAelipse =2,a,bpi,a,b =2pi approx0,6366

Resposta

A razão entre a área do retângulo inscrito de área máxima e a área da elipse é 2piapprox0,6366.

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