QUESTÃO 14

Em um plano cartesiano, o gráfico da função f(x)=x^{2}-4 x- 5, definida nos reais, intersecta o eixo x nos pontos A e B, e o eixo y no ponto C.
Determine a área do triângulo ABC .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^2-4x-5 e pede a área do triângulo cujos vértices são os pontos de interseção com os eixos: A e B no eixo x (onde f(x)=0) e C no eixo y (onde x=0). Vamos usar:
– Resolução de equação quadrática para achar A e B.
– Cálculo de f(0) para achar C.
– Fórmula da área de triângulo no plano usando base e altura.

Passo 2

Para encontrar A e B, resolvemos
x^2 - 4x - 5 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara:
x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = \frac{4 \pm \sqrt{16+20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}.
Logo \,x = 5 ou \,x = -1, ou seja A = (-1,0) e B = (5,0).

Passo 3

O intercepto com o eixo y é
C = (0,\,f(0)) = (0,\,-5).
No triângulo ABC, escolhemos a base AB, cujo comprimento é
AB = 5 - (-1) = 6,
e a altura relativa a essa base é a distância de C ao eixo x, isto é
|y_C| = |-5| = 5.
Assim, a área é
\text{Área} = \frac12 \times AB \times \text{altura} = \frac12 \times 6 \times 5 = 15.Á

Resposta

15

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