Quantos são os números cujos triplos, somados com dois, são números primos entre 10 e 50 ?
A) 5 .
(B) 6 .
C) 7 .
D) 11 .

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos inteiros n satisfazem que o número 3n+2 é primo e está entre 10 e 50. Vamos usar teoria de números elementar, em particular propriedades de primos e congruências.

Passo 2

Primeiro listamos todos os números primos p tais que 10 < p < 50. Esses são
11,\;13,\;17,\;19,\;23,\;29,\;31,\;37,\;41,\;43,\;47.

Passo 3

Temos a relação
3n + 2 = p,
logo
n = \frac{p - 2}{3}.
Para n ser inteiro, é necessário que p - 2 seja múltiplo de 3, isto é, p \equiv 2 \pmod{3}.

Passo 4

Agora verificamos quais desses primos satisfazem p \equiv 2 \pmod{3}:
\begin{aligned} 11 &\equiv 2 \;(\bmod\;3),\\\\ 13 &\equiv 1 \;(\bmod\;3),\\\\ 17 &\equiv 2 \;(\bmod\;3),\\\\ 19 &\equiv 1 \;(\bmod\;3),\\\\ 23 &\equiv 2 \;(\bmod\;3),\\\\ 29 &\equiv 2 \;(\bmod\;3),\\\\ 31 &\equiv 1 \;(\bmod\;3),\\\\ 37 &\equiv 1 \;(\bmod\;3),\\\\ 41 &\equiv 2 \;(\bmod\;3),\\\\ 43 &\equiv 1 \;(\bmod\;3),\\\\ 47 &\equiv 2 \;(\bmod\;3). \end{aligned}
Os primos que funcionam são 11,17,23,29,41,47.

Passo 5

Contamos quantos são esses primos: houve 6 casos em que p\equiv2\pmod{3}, gerando n inteiro.

Resposta

(B) 6

Exercícios relacionados