Dada a elipse
25 x^2+16 y^2+50 x+64 y-311=0
pede-se:
(b) as medidas dos semieixos;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de uma elipse:
25 x^2+16 y^2+50 x+64 y-311=0
A questão pede para descobrir as medidas dos semieixos dessa elipse. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre elipses. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação na forma padrão da elipse e, assim, identificar os semieixos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x e de y:
25x^2 + 50x + 16y^2 + 64y = 311

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x e de y separadamente. Para facilitar, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:
Para x:
25x^2 + 50x = 25(x^2 + 2x)
Para y:
16y^2 + 64y = 16(y^2 + 4y)

Passo 4

Vamos completar o quadrado dentro dos parênteses.
Para x:
  • Pegamos o coeficiente de x, que é 2.
  • Dividimos por 2: 2 / 2 = 1.
  • Elevamos ao quadrado: 1^2 = 1.
  • Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
25(x^2 + 2x + 1 - 1) = 25((x + 1)^2 - 1)
Para y:
  • Coeficiente de y é 4.
  • Dividimos por 2: 4 / 2 = 2.
  • Elevamos ao quadrado: 2^2 = 4.
  • Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
16(y^2 + 4y + 4 - 4) = 16((y + 2)^2 - 4)

Passo 5

Substituímos de volta na equação:
25((x + 1)^2 - 1) + 16((y + 2)^2 - 4) = 311
Expande os termos:
25(x + 1)^2 - 25 + 16(y + 2)^2 - 64 = 311
Simplifica somando os termos constantes:
25(x + 1)^2 + 16(y + 2)^2 - 89 = 311

Passo 6

Isola os termos quadráticos:
25(x + 1)^2 + 16(y + 2)^2 = 311 + 89
25(x + 1)^2 + 16(y + 2)^2 = 400

Passo 7

Divide toda a equação por 400 para obter a forma padrão da elipse:
25(x + 1)^2400 + 16(y + 2)^2400 = 1
Simplifica as frações:
(x + 1)^216 + (y + 2)^225 = 1

Passo 8

Agora, a equação está na forma padrão da elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde:
  • (h, k) é o centro da elipse.
  • a é o semieixo maior.
  • b é o semieixo menor.
Comparando com nossa equação:
(x + 1)^216 + (y + 2)^225 = 1
Observamos que:
  • a^2 = 25 então a = 5
  • b^2 = 16 então b = 4

Resposta

Os semieixos da elipse medem 5 unidades e 4 unidades.

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