Dada a elipse
pede-se:
(b) as medidas dos semieixos;
(b) as medidas dos semieixos;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de uma elipse:
A questão pede para descobrir as medidas dos semieixos dessa elipse. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre elipses. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação na forma padrão da elipse e, assim, identificar os semieixos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
separadamente. Para facilitar, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos completar o quadrado dentro dos parênteses.
Para
:
- Pegamos o coeficiente de
, que é 2. - Dividimos por 2:
. - Elevamos ao quadrado:
. - Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Para
:
- Coeficiente de
é 4. - Dividimos por 2:
. - Elevamos ao quadrado:
. - Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Passo 5
Substituímos de volta na equação:
Expande os termos:
Simplifica somando os termos constantes:
Passo 6
Isola os termos quadráticos:
Passo 7
Divide toda a equação por 400 para obter a forma padrão da elipse:
Simplifica as frações:
Passo 8
Agora, a equação está na forma padrão da elipse:
Onde:
-
é o centro da elipse. -
é o semieixo maior. -
é o semieixo menor.
Comparando com nossa equação:
Observamos que:
-
então -
então
Resposta
Os semieixos da elipse medem
unidades e
unidades.