Determinar a equação da reta tangente à curva r(t)=(a cos t, cisent, b t) em um ponto qualquer da curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação da reta tangente à curva dada por r(t) = (a cos t, c sin t, b t) em um ponto qualquer da curva.
Conteúdo envolvido: Aqui estamos lidando com geometria analítica e cálculo vetorial. Vamos precisar saber como encontrar a derivada de uma função vetorial para obter o vetor tangente e, com isso, montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a reta tangente a uma curva em um ponto específico. A reta tangente é aquela que toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma direção que a curva naquele instante.
Para encontrar essa reta, precisamos:
  1. Identificar o ponto na curva correspondente a um valor específico de t (vamos chamar esse valor de t0 ).
  2. Calcular o vetor derivada r,'(t) em t = t0 , que nos dá a direção da reta tangente.
  3. Usar o ponto e a direção para escrever a equação da reta tangente.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada da função vetorial r(t) . A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor velocidade, que é tangente à curva naquele ponto.
Dada:
r(t) = (a cos t, c sin t, b t)
Derivando em relação a t :
r,'(t) = ( ddt(a cos t), ddt(c sin t), ddt(b t) )
r,'(t) = (-a sin t, c cos t, b)
Esse é o vetor tangente à curva para qualquer valor de t .

Passo 4

Agora, vamos escolher um ponto específico na curva. Vamos considerar um ponto correspondente a t = t0 .
O ponto na curva para t = t0 é:
r(t0) = (a cos t0, c sin t0, b t0)
E o vetor tangente nesse ponto é:
r,'(t0) = (-a sin t0, c cos t0, b)

Passo 5

Com o ponto r(t0) e o vetor tangente r,'(t0) , podemos escrever a equação da reta tangente.
A equação paramétrica da reta tangente é dada por:
L(s) = r(t0) + s cdot r,'(t0)
onde s é um parâmetro real.
Substituindo os valores que encontramos:
L(s) = (a cos t0, c sin t0, b t0) + s cdot (-a sin t0, c cos t0, b)
Isso nos dá as equações paramétricas da reta tangente.

Passo 6

Vamos separar isso em componentes para ficar mais claro:
Para a componente x :
x = a cos t0 - a sin t0 cdot s
Para a componente y :
y = c sin t0 + c cos t0 cdot s
Para a componente z :
z = b t0 + b cdot s

Resposta

A equação da reta tangente à curva [\vec{r}(t) = (a \cos t, c \sin t, b t)) em um ponto correspondente a é dada por:
onde (s] é um parâmetro real que varia ao longo da reta tangente.

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