Determinar a equação da reta tangente à curva
, cisent,
em um ponto qualquer da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação da reta tangente à curva dada por
em um ponto qualquer da curva.
Conteúdo envolvido: Aqui estamos lidando com geometria analítica e cálculo vetorial. Vamos precisar saber como encontrar a derivada de uma função vetorial para obter o vetor tangente e, com isso, montar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a reta tangente a uma curva em um ponto específico. A reta tangente é aquela que toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma direção que a curva naquele instante.
Para encontrar essa reta, precisamos:
- Identificar o ponto na curva correspondente a um valor específico de
(vamos chamar esse valor de ). - Calcular o vetor derivada
em , que nos dá a direção da reta tangente. - Usar o ponto e a direção para escrever a equação da reta tangente.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor velocidade, que é tangente à curva naquele ponto.
Dada:
Derivando em relação a
:
Esse é o vetor tangente à curva para qualquer valor de
.
Passo 4
Agora, vamos escolher um ponto específico na curva. Vamos considerar um ponto correspondente a
.
O ponto na curva para
é:
E o vetor tangente nesse ponto é:
Passo 5
Com o ponto
e o vetor tangente
, podemos escrever a equação da reta tangente.
A equação paramétrica da reta tangente é dada por:
onde
é um parâmetro real.
Substituindo os valores que encontramos:
Isso nos dá as equações paramétricas da reta tangente.
Passo 6
Vamos separar isso em componentes para ficar mais claro:
Para a componente
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Resposta
A equação da reta tangente à curva [\vec{r}(t) = (a \cos t, c \sin t, b t)) em um ponto correspondente a
é dada por:
onde (s] é um parâmetro real que varia ao longo da reta tangente.