Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que a gente tem aqui é um conjunto de quatro equações com cinco variáveis: w, x, y, u e v. Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar técnicas de álgebra para simplificar e encontrar as relações entre as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as duas primeiras equações:
w + 2x - y = 4 (1) x - y = 3 (2)
Podemos resolver a equação (2) para uma das variáveis, por exemplo, para x:
x = y + 3 (3)
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de x da equação (3) na equação (1):
w + 2(y + 3) - y = 4
Vamos distribuir o 2:
w + 2y + 6 - y = 4
Simplificando os termos semelhantes:
w + y + 6 = 4
Agora, isolamos w + y:
w + y = 4 - 6 w + y = -2 (4)
Passo 4
Vamos agora para a terceira equação do sistema:
w + 3x - 2y = 7 (5)
Substituímos novamente x da equação (3):
w + 3(y + 3) - 2y = 7
Distribuindo o 3:
w + 3y + 9 - 2y = 7
Simplificando:
w + y + 9 = 7
Isolando w + y:
w + y = 7 - 9 w + y = -2 (6)
Passo 5
Observamos que as equações (4) e (6) são iguais:
w + y = -2
Isso confirma que nossas substituições estão corretas e que as duas primeiras equações são consistentes com a terceira.
Lembrando que w + y = -2 da equação (4), podemos isolar w:
w = -2 - y (9)
Agora, substituímos w da equação (9) na equação (8):
2u + 4v + (-2 - y) + 7y = -14
Simplificando:
2u + 4v - 2 - y + 7y = -14 2u + 4v - 2 + 6y = -14
Isolando os termos com variáveis:
2u + 4v + 6y = -14 + 2 2u + 4v + 6y = -12 (10)
Passo 8
Podemos simplificar a equação (10) dividindo todos os termos por 2:
u + 2v + 3y = -6 (11)
Essa equação relaciona u, v e y. Como temos mais variáveis do que equações, vamos expressar algumas variáveis em termos das outras.
Passo 9
Relembrando a equação (3):
x = y + 3
E a equação (9):
w = -2 - y
Agora, temos expressões para x e w em termos de y. A equação (11) relaciona u e v com y:
u = -6 - 2v - 3y
Passo 10
Como temos mais variáveis do que equações, não podemos encontrar valores únicos para todas elas. Então, vamos deixar v e y como variáveis livres. Assim, nossas soluções ficam expressas em termos de v e y:
w = -2 - y x = y + 3 u = -6 - 2v - 3y v = v (livre) y = y (livre)
Resposta
As soluções do sistema são:
w = -2 - y x = y + 3 u = -6 - 2v - 3y v é livre y é livre éé