Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas.
Se T: P8(R) P8(R) é definida por T(p)=p^prime, então existe uma base de P8(R) tal que a matriz de T em relação a essa base é inversível.

Passo 1

O enunciado fala de T:P8(R)toP8(R) dada por T(p)=p'. Queremos saber se existe alguma base de P8(R) em que a matriz de T seja invertível. O conteúdo é teoria de operadores lineares, matriz de transformação e critério de invertibilidade.

Passo 2

Lembrando que uma matriz representa um operador linear invertível se e somente se o operador for bijetivo (isto é, injetivo e sobrejetivo). Em particular, se T não for injetiva, qualquer matriz que a represente terá determinante zero e, portanto, não será invertível.

Passo 3

Vamos verificar a injetividade de T.
T(p)=0 significa p'=0, o que acontece exatamente quando p é uma constante. Logo
ker T=pinP8(R)mid p' = 0 = polinômios constantesô,
de dimensão dimker T = 1. Pelo Teorema do Núcleo-Imagem,
dimker T + dimIm,T = dimP8(R) = 9,
portanto dimIm,T = 8. Como dimker T>0, T não é injetiva.

Passo 4

Como T não é injetiva, ela não é bijetiva, e nenhuma mudança de base pode torná-la bijetiva. Logo, em qualquer base a matriz de T terá posto <=8<9 e será singular.

Resposta

Falso. Não existe base em que a matriz de T seja invertível, pois T não é injetiva.

Exercícios relacionados