Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas.
Se
é definida por
, então existe uma base de
tal que a matriz de
em relação a essa base é inversível.
Se
Passo 1
O enunciado fala de
dada por
. Queremos saber se existe alguma base de
em que a matriz de
seja invertível. O conteúdo é teoria de operadores lineares, matriz de transformação e critério de invertibilidade.
Passo 2
Lembrando que uma matriz representa um operador linear invertível se e somente se o operador for bijetivo (isto é, injetivo e sobrejetivo). Em particular, se
não for injetiva, qualquer matriz que a represente terá determinante zero e, portanto, não será invertível.
Passo 3
Vamos verificar a injetividade de
.
significa
, o que acontece exatamente quando
é uma constante. Logo
,
de dimensão . Pelo Teorema do Núcleo-Imagem,
,
portanto . Como
,
não é injetiva.
de dimensão
portanto
Passo 4
Como
não é injetiva, ela não é bijetiva, e nenhuma mudança de base pode torná-la bijetiva. Logo, em qualquer base a matriz de
terá posto
e será singular.
Resposta
Falso. Não existe base em que a matriz de
seja invertível, pois
não é injetiva.