Dada z=f(x, y), encontre as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=x^2+y^3 ; partial fpartial x(x^2+y^2, y) e partialpartial x[f(x^2+y^2, y)]

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=x^2+y^3
e pede duas coisas:
  1. partial fpartial x(x^2+y^2,y)
  2. partialpartial xl[f(x^2+y^2,y)r]
    O que vamos usar: definição de derivada parcial e, para o segundo, a regra da cadeia em duas variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f em coordenadas genéricas (x,y):
fx(x,y)=partialpartial xl(x^2+y^3r)=2x,
fy(x,y)=partialpartial yl(x^2+y^3r)=3y^2

Passo 3

Para o item 1, basta avaliar fx em l(x^2+y^2,,yr):
partial fpartial x(x^2+y^2,y) = fxl(x^2+y^2,yr) =2,(x^2+y^2)

Passo 4

No item 2, definimos a composição
u(x,y)=x^2+y^2, v(x,y)=y,
e aplicamos a regra da cadeia:
partialpartial xfl(u(x,y),v(x,y)r) = fx(u,v),partial upartial x + fy(u,v),partial vpartial x

Passo 5

Como
partial upartial x=2x, partial vpartial x=0,
e usando fx(u,v)=2u=2(x^2+y^2), fy(u,v)=3v^2=3y^2, vem
partialpartial xl[f(x^2+y^2,y)r] =2(x^2+y^2)cdot2x ;+;3y^2cdot0 =4x,(x^2+y^2)

Resposta

partial fpartial x(x^2+y^2,y)=2,(x^2+y^2),
partialpartial xl[f(x^2+y^2,y)r] =4x,(x^2+y^2)

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