Prove, por definição, que:
lim x a raizx=raiza, a>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por definição epsilon de<a, que
limxto araizx=raiza,
onde a>0. Vamos usar a técnica de fatorar pelo conjugado e depois escolher um de<a que dependa de epsilon para controlar a diferença l|raizx-raizar|.

Passo 2

Escrevemos
l|raizx-raizar| = l|(raizx-raiza)(raizx+raiza)r|raizx+raiza = |x-a|raizx+raiza
Para usar essa expressão precisamos garantir que raizx+raiza fique longe de zero; como a>0, basta restringir x num intervalo em torno de a.

Passo 3

Escolhemos primeiro
de<a1 = a2
Se lvert x-arvert<de<a1, então
x > a - a2 = a2 > 0,
e portanto
raizx+raiza >= raiztfraca2 + raiza > raiza
Dessa forma obtemos o majorante
l|raizx-raizar| < |x-a|raiza

Passo 4

Para que l|raizx-raizar|<varepsilon bastará exigir
|x-a|raiza < varepsilon,
isto é,
|x-a| < varepsilon,raiza
Definimos então
de<a2 = varepsilon,raiza

Passo 5

Tomamos
de<a = minl(de<a1,,de<a2r) = minl(a2,,varepsilonraizar)
Assim, se 0<|x-a|<de<a, temos simultaneamente |x-a|<de<a1 (garantindo raizx+raiza>raiza) e |x-a|<de<a2 (garantindo |x-a|<varepsilonraiza). Daí segue
l|raizx-raizar| < |x-a|raiza < varepsilon

Resposta

Para todo varepsilon>0, escolhendo
de<a = minl(tfraca2,,varepsilonraizar),
obtemos 0<|x-a|<de<aimplies|raizx-raiza|<varepsilon. Logo
limxto araizx=raiza

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