Prove, por definição, que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por definição
–
, que
onde
. Vamos usar a técnica de fatorar pelo conjugado e depois escolher um
que dependa de
para controlar a diferença
.
Passo 2
Escrevemos
Para usar essa expressão precisamos garantir que
raizx+raiza fique longe de zero; como
a>0 , basta restringir
x num intervalo em torno de
a .
Passo 3
Escolhemos primeiro
Se
lvert x-arvert<de<a1 , então
e portanto
Dessa forma obtemos o majorante
Passo 4
Para que
l|raizx-raizar|<varepsilon bastará exigir
isto é,
Definimos então
Passo 5
Tomamos
Assim, se
0<|x-a|<de<a , temos simultaneamente
|x-a|<de<a1 (garantindo
raizx+raiza>raiza ) e
|x-a|<de<a2 (garantindo
|x-a|<varepsilonraiza ). Daí segue
Resposta
Para todo
varepsilon>0 , escolhendo
obtemos
0<|x-a|<de<aimplies|raizx-raiza|<varepsilon . Logo