Identifique a cônica de equação y^{2}-4 x^{2}+2 y-16 x-31=0. Encontre as coordenadas (cartesianas) de seus vértices, centro e focos. Se for o caso, encontre também as equações das assíntotas.
Resolução: Trabalhando com a equação, temos:
\begin{gathered} y^{2}-4 x^{2}+2 y-16 x-31=0 \\\ \Longrightarrow y^{2}+2 y-4\left(x^{2}+4 x\right)-31=0 \Longrightarrow y^{2}+2 y+1-1-4\left(x^{2}+4 x+4-4\right)-31=0 \\\ \Longrightarrow(y+1)^{2}-4(x+2)^{2}-1+16-31=0 \\\ \Longrightarrow(y+1)^{2}-4(x+2)^{2}-16=0 \\\ \Longrightarrow(y+1)^{2}-4(x+2)^{2}=16 \end{gathered}
\Longrightarrow \frac{(y+1)^{2}}{16}-\frac{(x+2)^{2}}{4}=1
Curva trabalhada: hipérbole do tipo \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1 (reta que contém os focos paralela ao eixo y)
Centro: C=(-2,-1)
a^{2}=16 \Longrightarrow a=4
b^{2}=4 \Longrightarrow b=2
Vértices: A_{1}=(-2,3) e A_{2}=(-2,-5)
Focos: vamos calcular o valor de c : c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+4=20 \Longrightarrow c=2 \sqrt{5}
Então, os focos são:
F_{1}=(-2,-1+2 \sqrt{5}), F_{2}=(-2,-1-2 \sqrt{5})
Assíntotas: para esse tipo de hipérbole, as equações das assíntotas são da forma:
(y-k)=\frac{a}{b}(x-h) e (y-k)=-\frac{a}{b}(x-h)
Usando os valores de a e b e as coordenadas do centro C=(h, k)=(-2,-1), obtemos:
y+1=2(x+2) \Longrightarrow y=2 x+3 e y+1=-2 x-5.

Passo 1

O enunciado pede identificar a cônica dada por
y^{2}-4x^{2}+2y-16x-31=0
e, depois de trazê-la à forma canônica por completamento de quadrados, determinar centro, vértices, focos e, se houver, assíntotas.

Passo 2

Agrupamos termos em y e em x e completamos quadrados:
y^{2}+2y-4\bigl(x^{2}+4x\bigr)-31=0
y^{2}+2y+1-1-4\bigl(x^{2}+4x+4-4\bigr)-31=0
(y+1)^{2}-1-4\bigl[(x+2)^{2}-4\bigr]-31=0
(y+1)^{2}-1-4(x+2)^{2}+16-31=0
(y+1)^{2}-4(x+2)^{2}-16=0

Passo 3

Isolando e dividindo por 16, obtemos a forma canônica
\frac{(y+1)^{2}}{16}-\frac{(x+2)^{2}}{4}=1,
que é uma hipérbole com eixo transverso paralelo a y.

Passo 4

Da forma canônica lemos:
Centro \displaystyle C=(h,k)=(-2,-1), \displaystyle a^{2}=16\implies a=4, \displaystyle b^{2}=4\implies b=2.

Passo 5

Os vértices ficam a a unidades do centro ao longo do eixo y, logo
A_{1}=(-2,\,-1+4)=(-2,3), \quad A_{2}=(-2,\,-1-4)=(-2,-5).

Passo 6

O parâmetro focal satisfaz
c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+4=20
\implies c=2\sqrt{5}.
Assim, os focos são
F_{1}=(-2,\,-1+2\sqrt{5}), \quad F_{2}=(-2,\,-1-2\sqrt{5}).

Passo 7

As assíntotas passam pelo centro e têm coeficientes angulares \pm\frac{a}{b}=\pm2:
y+1=2(x+2)\quad\Longrightarrow\quad y=2x+3,
y+1=-2(x+2)\quad\Longrightarrow\quad y=-2x-5.

Resposta

Tipo: hipérbole com eixo transverso paralelo a y.
Centro: C=(-2,-1).
Vértices: A_{1}=(-2,3), A_{2}=(-2,-5).
Focos: F_{1}=(-2,-1+2\sqrt{5}), F_{2}=(-2,-1-2\sqrt{5}).
Assíntotas: y=2x+3 e y=-2x-5.

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