Sejam p=(2, k) e q=(3,5). Encontre k tal que:
o ângulo entre p e q é pi3 Resp: k=-60 pm 34 raiz333

Passo 1

O enunciado dá os vetores vec p=(2,k) e vec q=(3,5) e pede k tal que o ângulo entre eles seja pi3. Vamos usar a fórmula do produto escalar em termos de coseno:
vec pcdotvec q = |vec p|;|vec q|costheta,
com theta=tfracpi3.

Passo 2

Calculemos cada termo da fórmula. Primeiro, o produto escalar
vec pcdotvec q = 2cdot3 + kcdot5 = 6 + 5k
Em seguida, os módulos:
|vec p| = raiz2^2 + k^2 = raiz4 + k^2, |vec q| = raiz3^2 + 5^2 = raiz9 + 25 = raiz34
Também sabemos que cosl(tfracpi3r)=tfrac12.

Passo 3

Substituindo na fórmula do produto escalar com ângulo, obtemos
6 + 5k = |vec p|;|vec q|;12 = 12,raiz4 + k^2;raiz34
Para eliminar as raízes, elevamos ao quadrado ambos os lados:
(6 + 5k)^2 = 344,(4 + k^2)

Passo 4

Vamos expandir e simplificar.
O lado esquerdo é
(6 + 5k)^2 = 36 + 60k + 25k^2,
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4,(36 + 60k + 25k^2) = 34,(4 + k^2)
Isto dá
144 + 240k + 100k^2 = 136 + 34k^2 Longrightarrow 66k^2 + 240k + 8 = 0
Dividindo tudo por 2, vem
33k^2 + 120k + 4 = 0

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara em 33k^2 + 120k + 4 = 0,
k = -120 pm raiz120^2 - 4cdot33cdot42cdot33 = -120 pm raiz14400 - 52866 = -120 pm raiz1387266
Como raiz13872=68raiz3, obtemos
k = -120 pm 68raiz366 = -60 pm 34raiz333

Resposta

k = -60 pm 34raiz333

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