Dada a equação diferencial
y \cos (x y)+3 e^{3 x}+(x \cos (x y)+4 y) y^{\prime}=0 .
(a) (0,4) Classifique-a quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b) (1,6) Determine a solução da EDO apresentada.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y\cos(xy)+3e^{3x}+\bigl(x\cos(xy)+4y\bigr)y'=0
e pede: (a) classificar ordem e linearidade; (b) achar a solução geral. Para resolver, vamos usar conceitos de classificação de EDO e método de equação exata.

Passo 2

A ordem da EDO é a maior derivada que aparece: aqui só aparece y', então é de primeira ordem. Para verificar linearidade, note que tanto y como \cos(xy) aparecem multiplicando y' ou isolados, e há termos não lineares em y (por exemplo \cos(xy) é função não linear de y). Logo, a equação é de primeira ordem e não é linear.

Passo 3

Reescrevemos na forma
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0
com
M(x,y)=y\cos(xy)+3e^{3x}, \quad N(x,y)=x\cos(xy)+4y.
Para ver se é exata, calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =\cos(xy)-xy\sin(xy), \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\cos(xy)-xy\sin(xy).
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\Psi_x=M, \quad \Psi_y=N.
Integrando M em relação a x:
\Psi(x,y) =\int\bigl(y\cos(xy)+3e^{3x}\bigr)\,dx =\sin(xy)+e^{3x}+h(y),
onde h(y) é função de y só.

Passo 5

Para determinar h(y), derivamos \Psi em relação a y e igualamos a N:
\Psi_y =x\cos(xy)+h'(y) \eqcolon x\cos(xy)+4y \;\Longrightarrow\; h'(y)=4y \;\Longrightarrow\; h(y)=2y^2.
Logo
\Psi(x,y)=\sin(xy)+e^{3x}+2y^2.
A solução implícita é \Psi(x,y)=C.

Resposta

(a) é de ordem 1 e não linear.
(b) \displaystyle \sin(xy)+e^{3x}+2y^2=C, com C constante.

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