Dada a equação diferencial
(a)
Classifique-a quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b)
Determine a solução da EDO apresentada.
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede: (a) classificar ordem e linearidade; (b) achar a solução geral. Para resolver, vamos usar conceitos de classificação de EDO e método de equação exata.
Passo 2
A ordem da EDO é a maior derivada que aparece: aqui só aparece
, então é de primeira ordem. Para verificar linearidade, note que tanto
como
aparecem multiplicando
ou isolados, e há termos não lineares em
(por exemplo
é função não linear de
). Logo, a equação é de primeira ordem e não é linear.
Passo 3
Reescrevemos na forma
com
Para ver se é exata, calculamos
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
:
onde
é função de
só.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
A solução implícita é
.
Resposta
(a) é de ordem 1 e não linear.
(b) , com
constante.
(b)