Dada a equação diferencial
y^prime prime(t)+y^prime(t)-54 y(t)=1-upi(t)
com y(0)=0 e y^prime(0)=0.
Determine a solução y(t) do P.V.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me passou:
y^prime prime(t)+y^prime(t)-54 y(t)=1-upi(t)
com as condições iniciais y(0) = 0 e y^prime(0) = 0 . Para resolver isso, vamos usar transformadas de Laplace, que são super úteis para resolver equações diferenciais com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a transformada de y(t) é Y(s) , e temos as propriedades para as derivadas:
Ly^prime(t) = sY(s) - y(0)
Ly^prime prime(t) = s^2Y(s) - s y(0) - y^prime(0)
Como as condições iniciais são zero, isso simplifica nossa conta.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação:
s^2 Y(s) - s cdot 0 - 0 + s Y(s) - 0 - 54 Y(s) = 1s - e^-pi ss
Aqui, usamos que L1 = 1s e Lupi(t) = e^-pi ss .

Passo 4

Simplificando a equação:
(s^2 + s - 54) Y(s) = 1 - e^-pi ss
Agora, isolamos Y(s) :
Y(s) = 1 - e^-pi ss (s^2 + s - 54)

Passo 5

Vamos fatorar o denominador s^2 + s - 54 . Usando a fórmula quadrática:
s = -1 pm raiz1 + 52 = -1 pm raiz62
Então, os fatores são (s - -1 + raiz62) e (s - -1 - raiz62) .

Passo 6

Com os fatores, podemos reescrever Y(s) usando frações parciais. Isso facilita a aplicação da transformada inversa de Laplace depois. Portanto:
Y(s) = 1 - e^-pi ss (s - r1)(s - r2)
onde r1 = -1 + raiz62 e r2 = -1 - raiz62 .

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t) . Usando tabelas de Laplace e propriedades de deslocamento, obtemos:
y(t) = ( A e^r1 t + B e^r2 t ) + ( A e^r1 (t - pi) + B e^r2 (t - pi) ) upi(t)
Os coeficientes A e B são determinados pelas condições iniciais, que aqui são zero.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 4raiz6 ( e^-1 + raiz62 t - e^-1 - raiz62 t ) ( 1 - upi(t) ) + 4raiz6 ( e^-1 + raiz62 (t - pi) - e^-1 - raiz62 (t - pi) ) upi(t)

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