Dada a equação diferencial
e
.
Determine a solução
do P.V.I.
Determine a solução
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me passou:
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar transformadas de Laplace, que são super úteis para resolver equações diferenciais com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a transformada de
é
, e temos as propriedades para as derivadas:
Como as condições iniciais são zero, isso simplifica nossa conta.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Aqui, usamos que
e
.
Passo 4
Simplificando a equação:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador
. Usando a fórmula quadrática:
Então, os fatores são
e
.
Passo 6
Com os fatores, podemos reescrever
usando frações parciais. Isso facilita a aplicação da transformada inversa de Laplace depois. Portanto:
onde
e
.
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Usando tabelas de Laplace e propriedades de deslocamento, obtemos:
Os coeficientes
e
são determinados pelas condições iniciais, que aqui são zero.
Resposta
A solução da equação diferencial é: