Dada a equação diferencial
e
.
Encontre a transformada de Laplace da solução y(t) do P.V.I.
Encontre a transformada de Laplace da solução y(t) do P.V.I.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Então, vamos aplicar a Transformada de Laplace nessa equação para encontrar
, que é a transformada da solução
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
- Para
:
- Para
:
E sabemos que a Transformada de Laplace de uma constante
é
. Além disso,
é a função degrau de Heaviside deslocada para
, então:
Passo 3
Agora, aplicando a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Substituindo as transformadas que calculamos:
Como
e
, a equação simplifica para:
Passo 4
Vamos fatorar
na parte esquerda da equação:
Agora, isolamos
:
Resposta
A transformada de Laplace da solução
é: