Dada a equação diferencial
y^prime prime(t)+y^prime(t)-54 y(t)=1-upi(t)
com y(0)=0 e y^prime(0)=0.
Encontre a transformada de Laplace da solução y(t) do P.V.I.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial de segunda ordem:
y''(t) + y'(t) - 54 y(t) = 1 - upi(t)
com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 . O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Então, vamos aplicar a Transformada de Laplace nessa equação para encontrar Y(s) , que é a transformada da solução y(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
  • Para y'(t) :
Ly'(t) = sY(s) - y(0)
  • Para y''(t) :
Ly''(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E sabemos que a Transformada de Laplace de uma constante 1 é 1s . Além disso, upi(t) é a função degrau de Heaviside deslocada para t = pi , então:
Lupi(t) = e^-pi ss

Passo 3

Agora, aplicando a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Ly''(t) + Ly'(t) - 54 Ly(t) = L1 - Lupi(t)
Substituindo as transformadas que calculamos:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + s Y(s) - y(0) - 54 Y(s) = 1s - e^-pi ss
Como y(0) = 0 e y'(0) = 0 , a equação simplifica para:
s^2 Y(s) + s Y(s) - 54 Y(s) = 1s - e^-pi ss

Passo 4

Vamos fatorar Y(s) na parte esquerda da equação:
Y(s) (s^2 + s - 54) = 1 - e^-pi ss
Agora, isolamos Y(s) :
Y(s) = 1 - e^-pi ss (s^2 + s - 54)

Resposta

A transformada de Laplace da solução y(t) é:
Y(s) = 1 - e^-pi ss (s^2 + s - 54)

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