Dada a equação diferencial
, encontre a constante
tal que
é uma soluçâo. Quantos valores de
dessa forma existem? Existe alguma outra solução além de
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver. Temos a equação diferencial
e precisamos encontrar a constante
tal que
seja uma solução dessa equação. Além disso, queremos saber quantos valores de
existem e se tem alguma outra solução além de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma equação diferencial linear de segunda ordem como essa pode ter soluções que são funções exponenciais do tipo
. A ideia é substituir
na equação para encontrar o valor de
.
Passo 3
Vamos substituir
na equação. Primeiro, calculamos as derivadas:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Podemos fatorar
da expressão:
Como
nunca é zero, podemos igualar o que está dentro dos parênteses a zero:
Passo 6
Agora temos uma equação quadrática para resolver. Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 8
Calculando as duas soluções:
Então, temos dois valores de
: 3 e -2.
Passo 9
Agora, já que temos dois valores de
, as soluções gerais da equação diferencial são combinações lineares dessas soluções exponenciais:
Aqui,
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.
Resposta
Existem dois valores de
que fazem
ser uma solução da equação diferencial:
e
. Além disso, outra solução geral é
, onde
e
são constantes, mostrando que existem outras soluções além de
.