Dada a equação diferencial y^prime prime-y^prime-6 y=0, encontre a constante r tal que 3 e^r x é uma soluçâo. Quantos valores de r dessa forma existem? Existe alguma outra solução além de 3 e^r x ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver. Temos a equação diferencial y'' - y' - 6y = 0 e precisamos encontrar a constante r tal que 3 e^r x seja uma solução dessa equação. Além disso, queremos saber quantos valores de r existem e se tem alguma outra solução além de 3 e^r x .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma equação diferencial linear de segunda ordem como essa pode ter soluções que são funções exponenciais do tipo e^r x . A ideia é substituir y = e^r x na equação para encontrar o valor de r .

Passo 3

Vamos substituir y = e^r x na equação. Primeiro, calculamos as derivadas:
y' = r e^r x
y'' = r^2 e^r x

Passo 4

Agora, substituímos y , y' e y'' na equação diferencial:
r^2 e^r x - r e^r x - 6 e^r x = 0

Passo 5

Podemos fatorar e^r x da expressão:
e^r x (r^2 - r - 6) = 0
Como e^r x nunca é zero, podemos igualar o que está dentro dos parênteses a zero:
r^2 - r - 6 = 0

Passo 6

Agora temos uma equação quadrática para resolver. Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = -1 e c = -6 .

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
r = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-6)2 cdot 1 = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm raiz252 = 1 pm 52

Passo 8

Calculando as duas soluções:
r1 = 1 + 52 = 3
r2 = 1 - 52 = -2
Então, temos dois valores de r : 3 e -2.

Passo 9

Agora, já que temos dois valores de r , as soluções gerais da equação diferencial são combinações lineares dessas soluções exponenciais:
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x
Aqui, C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.

Resposta

Existem dois valores de r que fazem 3 e^r x ser uma solução da equação diferencial: r = 3 e r = -2 . Além disso, outra solução geral é y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x , onde C1 e C2 são constantes, mostrando que existem outras soluções além de 3 e^r x .

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