Encontre uma série cuja n-ésima soma vem dada por:
Sn=n^2n+1

Passo 1

O enunciado nos dá a soma parcial de uma série
Sn = n^2n+1
e pede para encontrarmos o termo geral an tal que
sumk=1^n ak = Sn

Passo 2

Usamos a relação entre soma parcial e termo geral:
an = Sn - Sn-1,
onde
Sn-1 = (n-1)^2n

Passo 3

Substituindo em an:
an = n^2n+1 ;-;(n-1)^2n
Colocando em denominador comum n(n+1), o numerador fica
n^3 - l((n-1)^2(n+1)r) = n^3 - l(n^3 - n^2 - n + 1r) = n^2 + n - 1
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an = n^2 + n - 1n(n+1)

Passo 4

Podemos ainda escrever
n^2 + n - 1n(n+1) = 1 - 1n(n+1) = 1 - l(1n - 1n+1r),
o que evidencia a forma telescópica do ajuste.

Resposta

A série cuja n-ésima soma é Sn=n^2n+1 é
sumn=1^infty an com an = n^2 + n - 1n(n+1)

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