Verifique se são diferenciáveis as funções dadas nos pontos indicados
f(x, y)=x y no ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x,y
é diferenciável no ponto (2,1).
O conteúdo envolvido é definição de diferenciabilidade em Bbb R^2: devemos mostrar que existe um aplicativo linear L (dado pelo gradiente) tal que, para (h,k)to(0,0),
f(2+h,1+k)-f(2,1)-L(h,k)=ol(|(h,k)|r)

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=y, partial fpartial y(x,y)=x
Em particular, no ponto (2,1) temos
partial fpartial x(2,1)=1, partial fpartial y(2,1)=2

Passo 3

O candidato a diferencial linear em (2,1) é
L(h,k)=1cdot h+2cdot k
Verifiquemos o termo de erro:
f(2+h,1+k)=(2+h)(1+k)=2+2k+h+hk,
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f(2+h,1+k)-f(2,1)-L(h,k) =(2+2k+h+hk)-2-(h+2k) =hk

Passo 4

Defina rho=raizh^2+k^2=|(h,k)|. Então
l|hkr|<=h^2+k^22=rho^22
e portanto
l|f(2+h,1+k)-f(2,1)-L(h,k)r|rho =|hk|rho<=rho^2/2rho=rho2;longrightarrow;0 (rhoto0)
Isso mostra que o resto é o(rho) e, por definição, f é diferenciável em (2,1).

Resposta

A função f(x,y)=x,y é diferenciável no ponto (2,1).

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