Usando a transformada de Laplace, resolva os problemas de valor inicial abaixo.
y^prime prime(t)+y(t)=t, y(0)=1 e y^prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y''(t) + y(t) = t, y(0)=1,;y'(0)=-2
usando a transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
Ly'(t)(s)=sY(s)-y(0) e
Ly''(t)(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
além de Lt(s)=1/s^2.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos
Ly''(s)+ Ly(s)= Lt(s)
isto é,
l(s^2Y(s)-scdot1-(-2)r)+Y(s)=1s^2
Logo,
(s^2+1),Y(s)-s+2=1s^2 Longrightarrow Y(s)=1s^2,(s^2+1)+s-2s^2+1

Passo 3

Escrevemos
Y(s) =ss^2+1-2s^2+1+1s^2,(s^2+1)
Fazendo frações parciais em 1s^2(s^2+1), achamos
1s^2(s^2+1) =1s^2-1s^2+1
Portanto
Y(s) =ss^2+1-2s^2+1 +l(1s^2-1s^2+1r) =ss^2+1-3s^2+1+1s^2

Passo 4

Invertemos termo a termo:
L^-1!lss^2+1r= cos t, L^-1!l1s^2r= t, L^-1!l3s^2+1r=3sin t
Assim
y(t)=cos t + t -3sin t

Resposta

y(t)=t+cos t -3sin t

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