Dados o conjunto A=cos (raiz2 x), sin (raiz2 x) e a equação diferencial ordinária de segunda ordem
d y^2d x^2+2 y=0
Verifique se o conjunto A forma um conjunto fundamental de solução para essa EDO dada. Apresente sua solução de forma detalhada!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto A = cos (raiz2 x), sin (raiz2 x) é um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial ordinária de segunda ordem:
d^2 yd x^2 + 2 y = 0
Isso envolve entender o que é um conjunto fundamental de soluções e verificar se as funções dadas satisfazem a equação e são linearmente independentes. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, soluções de EDOs homogêneas e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as funções cos (raiz2 x) e sin (raiz2 x) realmente resolvem a equação diferencial dada. Para isso, vamos substituir cada função na EDO e ver se a igualdade é satisfeita.

Passo 3

Vamos começar com y1(x) = cos (raiz2 x) :
  1. Calculamos a primeira derivada:
d y1d x = -raiz2 sin (raiz2 x)
  1. Calculamos a segunda derivada:
d^2 y1d x^2 = -2 cos (raiz2 x)
Substituindo na EDO:
-2 cos (raiz2 x) + 2 cos (raiz2 x) = 0
Então, y1(x) satisfaz a EDO.

Passo 4

Agora, vamos verificar y2(x) = sin (raiz2 x) :
  1. Calculamos a primeira derivada:
d y2d x = raiz2 cos (raiz2 x)
  1. Calculamos a segunda derivada:
d^2 y2d x^2 = -2 sin (raiz2 x)
Substituindo na EDO:
-2 sin (raiz2 x) + 2 sin (raiz2 x) = 0
Então, y2(x) também satisfaz a EDO.

Passo 5

Agora que vimos que ambas as funções resolvem a equação, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Para isso, calculamos o Wronskiano das duas soluções:
W(y1, y2) = y1 & y2 y1' & y2' = cos (raiz2 x) & sin (raiz2 x) -raiz2 sin (raiz2 x) & raiz2 cos (raiz2 x)
Calculando o determinante:
W = cos (raiz2 x) cdot raiz2 cos (raiz2 x) - (-raiz2 sin (raiz2 x)) cdot sin (raiz2 x) = raiz2 (cos^2 (raiz2 x) + sin^2 (raiz2 x)) = raiz2
Como o Wronskiano não é zero, as funções são linearmente independentes.

Resposta

Sim, o conjunto A = cos (raiz2 x), sin (raiz2 x) forma um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial d^2 yd x^2 + 2 y = 0 .

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