Dados o conjunto e a equação diferencial ordinária de segunda ordem
Verifique se o conjunto forma um conjunto fundamental de solução para essa EDO dada. Apresente sua solução de forma detalhada!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial ordinária de segunda ordem:
Isso envolve entender o que é um conjunto fundamental de soluções e verificar se as funções dadas satisfazem a equação e são linearmente independentes. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, soluções de EDOs homogêneas e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as funções e realmente resolvem a equação diferencial dada. Para isso, vamos substituir cada função na EDO e ver se a igualdade é satisfeita.
Passo 3
Vamos começar com :
Calculamos a primeira derivada:
Calculamos a segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Então, satisfaz a EDO.
Passo 4
Agora, vamos verificar :
Calculamos a primeira derivada:
Calculamos a segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Então, também satisfaz a EDO.
Passo 5
Agora que vimos que ambas as funções resolvem a equação, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Para isso, calculamos o Wronskiano das duas soluções:
Calculando o determinante:
W = cos (raiz2 x) cdot raiz2 cos (raiz2 x) - (-raiz2 sin (raiz2 x)) cdot sin (raiz2 x) = raiz2 (cos^2 (raiz2 x) + sin^2 (raiz2 x)) = raiz2
Como o Wronskiano não é zero, as funções são linearmente independentes.
Resposta
Sim, o conjunto A = cos (raiz2 x), sin (raiz2 x) forma um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial d^2 yd x^2 + 2 y = 0 .