Em relação a equações diferenciais de segunda ordem:
(a)
Considere a seguinte equação diferencial com coeficientes constantes:
Determine o valor de
para que a equação característica associada possua raízes reais iguais, e logo escreva a solução geral da equação.
(b)
Suponha que
. Determine a solução dessa nova equação diferencial, com as condições iniciais
e
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
é um parâmetro real. O que é pedido:
-
(a) Determinar o valor de
tal que a equação característica associada tenha raízes reais iguais (ou seja, raiz dupla) e, em seguida, escrever a solução geral da equação para esse valor de . -
(b) Tomar
e resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Ou seja, encontrar a solução particular que satisfaz essas condições.
Informações dadas importantes:
- A equação diferencial é linear homogênea com coeficientes constantes.
- Para (a) há um parâmetro
a ajustar para que as raízes da característica sejam iguais. - Para (b) os dados iniciais são
e e toma o valor .
Passo 2
Transformando a equação diferencial em uma equação algébrica: método da equação característica.
Explicação do método (passo a passo, bem didático):
- Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma tentativa natural de solução é
, onde é um número a determinar. A razão é que derivadas de são múltiplos de , o que simplifica a equação. - Substituindo
em obtemos:
- Como
para todo , podemos dividir por e obter a equação algébrica chamada equação característica:
- As raízes
dessa equação determinam as soluções exponenciais que compõem a solução geral da ODE.
Passo 3
Condição para raízes reais iguais (raiz dupla) da equação característica.
Explicação do conceito usado:
- Uma equação quadrática
tem discriminante dado por , onde aqui , e é o parâmetro. - Se
, as duas raízes coincidem (raiz dupla).
Cálculo do discriminante e resolução:
Impor
dá
Passo 4
Determinar a raiz e a solução geral quando
.
Cálculo da raiz dupla:
- Com
, a equação característica é
- Esta é
, logo a raiz dupla é .
Forma da solução quando há raiz dupla:
- Resultado padrão (e que pode ser justificado por um procedimento chamado redução de ordem) é: se a raiz
da característica tem multiplicidade , então duas soluções linearmente independentes são e . - Portanto, a solução geral da ODE para
é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinam a combinação linear das duas soluções independentes).
Passo 5
Agora a parte (b): resolver com
e aplicar as condições iniciais.
Montagem da equação característica para
:
Resolução da quadrática (fatoração simples):
- Tentar fatorar:
e , então
- Logo as raízes são
e ; são raízes reais distintas.
Passo 6
Escrever a solução geral para raízes reais distintas e aplicar as condições iniciais.
Forma geral:
- Quando as raízes
- Com
e , temos
Calcular a derivada necessária para as condições iniciais:
Aplicar as condições iniciais
e
:
- Em
: , então
Resolver o sistema linear:
- Do sistema
faço eliminação: multiplico a primeira equação por (3] e subtraio:
- Assim
. Então .
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Resposta
(a)
. A solução geral é
.
(b) Para com
e
:
.
(b) Para