Em relação a equações diferenciais de segunda ordem:
(a) [1.0] Considere a seguinte equação diferencial com coeficientes constantes:
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+c y=0
Determine o valor de c para que a equação característica associada possua raízes reais iguais, e logo escreva a solução geral da equação.
(b) [1,5] Suponha que c=15. Determine a solução dessa nova equação diferencial, com as condições iniciais u(0)=3 e y^{\prime}(0)=13.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-8y^{\prime}+c\,y=0,
onde c é um parâmetro real. O que é pedido:
  • (a) Determinar o valor de c tal que a equação característica associada tenha raízes reais iguais (ou seja, raiz dupla) e, em seguida, escrever a solução geral da equação para esse valor de c.
  • (b) Tomar c=15 e resolver a equação diferencial com as condições iniciais y(0)=3 e y^{\prime}(0)=13. Ou seja, encontrar a solução particular que satisfaz essas condições.
Informações dadas importantes:
  • A equação diferencial é linear homogênea com coeficientes constantes.
  • Para (a) há um parâmetro c a ajustar para que as raízes da característica sejam iguais.
  • Para (b) os dados iniciais são y(0)=3 e y^{\prime}(0)=13 e c toma o valor 15.

Passo 2

Transformando a equação diferencial em uma equação algébrica: método da equação característica.
Explicação do método (passo a passo, bem didático):
  • Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma tentativa natural de solução é y(t)=e^{rt}, onde r é um número a determinar. A razão é que derivadas de e^{rt} são múltiplos de e^{rt}, o que simplifica a equação.
  • Substituindo y(t)=e^{rt} em y^{\prime\prime}-8y^{\prime}+c\,y=0 obtemos:
r^{2}e^{rt}-8r e^{rt}+c e^{rt}=0.
  • Como e^{rt}\neq0 para todo t, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação algébrica chamada equação característica:
r^{2}-8r+c=0.
  • As raízes r dessa equação determinam as soluções exponenciais que compõem a solução geral da ODE.

Passo 3

Condição para raízes reais iguais (raiz dupla) da equação característica.
Explicação do conceito usado:
  • Uma equação quadrática r^{2}-8r+c=0 tem discriminante \Delta dado por \Delta=b^{2}-4ac, onde aqui a=1, b=-8 e c é o parâmetro.
  • Se \Delta=0, as duas raízes coincidem (raiz dupla).
Cálculo do discriminante e resolução:
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot1\cdot c = 64-4c.
Impor \Delta=0
64-4c=0 \quad\Rightarrow\quad 4c=64 \quad\Rightarrow\quad c=16.

Passo 4

Determinar a raiz e a solução geral quando c=16.
Cálculo da raiz dupla:
  • Com c=16, a equação característica é
r^{2}-8r+16=0.
  • Esta é (r-4)^{2}=0, logo a raiz dupla é r=4.
Forma da solução quando há raiz dupla:
  • Resultado padrão (e que pode ser justificado por um procedimento chamado redução de ordem) é: se a raiz r da característica tem multiplicidade 2, então duas soluções linearmente independentes são e^{rt} e t e^{rt}.
  • Portanto, a solução geral da ODE para c=16 é
y(t) = \big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{4t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinam a combinação linear das duas soluções independentes).

Passo 5

Agora a parte (b): resolver com c=15 e aplicar as condições iniciais.
Montagem da equação característica para c=15:
r^{2}-8r+15=0.
Resolução da quadrática (fatoração simples):
  • Tentar fatorar: 15=3\cdot5 e 3+5=8, então
r^{2}-8r+15=(r-3)(r-5)=0.
  • Logo as raízes são r_{1}=3 e r_{2}=5; são raízes reais distintas.

Passo 6

Escrever a solução geral para raízes reais distintas e aplicar as condições iniciais.
Forma geral:
  • Quando as raízes r_{1}\) e \(r_{2}\) são reais e distintas, a solução geral é \[y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.
  • Com r_{1}=3 e r_{2}=5, temos
y(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{5t}.
Calcular a derivada necessária para as condições iniciais:
y^{\prime}(t)=3C_{1}e^{3t}+5C_{2}e^{5t}.
Aplicar as condições iniciais y(0)=3 e y^{\prime}(0)=13:
  • Em t=0: e^{0}=1, então
y(0)=C_{1}+C_{2}=3.
y^{\prime}(0)=3C_{1}+5C_{2}=13.
Resolver o sistema linear:
  • Do sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=3,\\[4pt] 3C_{1}+5C_{2}=13, \end{cases}
faço eliminação: multiplico a primeira equação por (3] e subtraio:
3C_{1}+3C_{2}=9,
(3C_{1}+5C_{2})-(3C_{1}+3C_{2})=13-9 \quad\Rightarrow\quad 2C_{2}=4.
  • Assim C_{2}=2. Então C_{1}=3-C_{2}=3-2=1.
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(t)=1\cdot e^{3t}+2\cdot e^{5t}=e^{3t}+2e^{5t}.]

Resposta

(a) c=16. A solução geral é y(t)=\big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{4t}.
(b) Para c=15 com y(0)=3 e y^{\prime}(0)=13: y(t)=e^{3t}+2e^{5t}.

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