Dada a equação diferencial
y^{\prime}=e^{x-y}
(a) Classifique-a quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É não linear pois não pode ser escrita na forma y^{\prime}+f(x) y=g(x)
(b) Determine a sua solução na forma explícita. \quad \mathrm{R}: y=\ln \left(e^{x}+C\right)
(c) Mostre que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = e^{\,x - y}
e pede:
(a) classificar sua ordem e linearidade;
(b) encontrar a solução explícita;
(c) verificar que essa solução realmente satisfaz a EDO.
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e depois fazer a verificação por substituição.

Passo 2

Item (a): Ordem e linearidade
– A ordem da EDO é o maior número de derivadas presentes, aqui aparece apenas y', logo é de ordem 1.
– Para ser linear em y a equação deveria poder ser escrita como
y' + P(x)\,y = Q(x).
Mas temos y' = e^{x - y} = e^x\,e^{-y}, que não é da forma acima (a incógnita y aparece dentro de um expoente). Portanto a EDO é não linear.

Passo 3

Item (b): Solução explícita por separação de variáveis
Escrevemos
\frac{dy}{dx} = e^x\,e^{-y} \;\Longrightarrow\; e^{y}\,dy = e^{x}\,dx.
Agora integramos ambos os lados:
\int e^{y}\,dy = \int e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{y} = e^{x} + C,
onde C é constante de integração. Logo
y = \ln\bigl(e^{x} + C\bigr).

Passo 4

Item (c): Verificação por substituição
Da solução y = \ln(e^{x}+C) temos
y' = \frac{d}{dx}\ln\bigl(e^{x}+C\bigr) = \frac{e^{x}}{\,e^{x}+C\,}.
Por outro lado,
e^{\,x - y} = e^{\,x - \ln(e^{x}+C)} = \frac{e^{x}}{e^{x}+C}.
Como y' = e^{x}/(e^{x}+C)=e^{x-y}, concluímos que a função encontrada satisfaz a EDO.

Resposta

(a) Ordem 1; não linear.
(b) \displaystyle y = \ln\bigl(e^{x}+C\bigr).
(c) Substituindo verifica-se que y' = e^{x}/(e^{x}+C) e e^{x-y}=e^{x}/(e^{x}+C), logo a solução está correta.

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