Dada a equação diferencial
(a) Classifique-a quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É não linear pois não pode ser escrita na forma
(b) Determine a sua solução na forma explícita.
(c) Mostre que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
(b) Determine a sua solução na forma explícita.
(c) Mostre que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede:
(a) classificar sua ordem e linearidade;
(b) encontrar a solução explícita;
(c) verificar que essa solução realmente satisfaz a EDO.
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e depois fazer a verificação por substituição.
(a) classificar sua ordem e linearidade;
(b) encontrar a solução explícita;
(c) verificar que essa solução realmente satisfaz a EDO.
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e depois fazer a verificação por substituição.
Passo 2
Item (a): Ordem e linearidade
– A ordem da EDO é o maior número de derivadas presentes, aqui aparece apenas , logo é de ordem 1.
– Para ser linear em a equação deveria poder ser escrita como
– A ordem da EDO é o maior número de derivadas presentes, aqui aparece apenas
– Para ser linear em
Mas temos
, que não é da forma acima (a incógnita
aparece dentro de um expoente). Portanto a EDO é não linear.
Passo 3
Item (b): Solução explícita por separação de variáveis
Escrevemos
Escrevemos
Agora integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Logo
Passo 4
Item (c): Verificação por substituição
Da solução temos
Da solução
Por outro lado,
Como
, concluímos que a função encontrada satisfaz a EDO.
Resposta
(a) Ordem
; não linear.
(b)
(c) Substituindo verifica-se que e
, logo a solução está correta.
(b)
(c) Substituindo verifica-se que