Deduza através da equação de bernoulli, uma equação de equilíbrio entre a vazão de entrada de um tanque e a saída, sabendo que a tubulação de entrada tem 1,5 vezes o diâmetro da tubulação de saída, localizada na base de um tanque de altura He diâmetro D.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, em regime permanente (equilíbrio), uma relação entre a vazão de entrada Q_{\rm in} e a vazão de saída Q_{\rm out} de um tanque cilíndrico de altura \,H_e e diâmetro do tanque irrelevante para o balanço de vazões. A tubulação de entrada tem diâmetro d_i, e a de saída (na base do tanque) tem diâmetro d_o, com
d_i = 1{,}5\,d_o.
Para deduzir essa relação vamos usar a continuidade (equação da vazão) e a equação de Bernoulli entre a superfície livre do líquido no tanque e a saída na base, desprezando perdas de carga e velocidades na superfície.

Passo 2

Definimos as áreas das seções transversais das tubulações de entrada e de saída:
A_i = \frac{\pi\,d_i^2}{4}, \qquad A_o = \frac{\pi\,d_o^2}{4}.
Em regime permanente, a continuidade impõe
Q_{\rm in} = Q_{\rm out}.

Passo 3

Aplicamos Bernoulli entre o ponto 1 na superfície livre do tanque e o ponto 2 na saída à base. Como a velocidade na superfície é desprezível e as pressões nos dois pontos são atmosféricas, obtemos
\frac{p_1}{\rho g} + 0 + z_1 \;=\;\frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 \quad\Longrightarrow\quad H_e = \frac{v_2^2}{2g}
de onde
v_2 = \sqrt{2\,g\,H_e}.

Passo 4

A vazão de saída é
Q_{\rm out} = A_o\,v_2 = A_o\,\sqrt{2\,g\,H_e}.
Em equilíbrio Q_{\rm in}=Q_{\rm out}, logo
Q_{\rm in} = A_o\,\sqrt{2\,g\,H_e}.

Passo 5

Se quisermos expressar Q_{\rm in} em função da área de entrada A_i e da velocidade de entrada v_i, escrevemos também
Q_{\rm in} = A_i\,v_i.
Igualando as duas expressões:
A_i\,v_i = A_o\,\sqrt{2\,g\,H_e},
e usando
\frac{A_i}{A_o} = \Bigl(\frac{d_i}{d_o}\Bigr)^2 = (1{,}5)^2 = 2{,}25,
temos
v_i = \frac{A_o}{A_i}\,\sqrt{2\,g\,H_e} = \frac{1}{2{,}25}\,\sqrt{2\,g\,H_e}.

Resposta

Em regime permanente (vazão de entrada igual à de saída) obtém-se
\boxed{ Q_{\rm in} \;=\; Q_{\rm out} \;=\; A_o\,\sqrt{2\,g\,H_e} \;=\;\frac{\pi\,d_o^2}{4}\,\sqrt{2\,g\,H_e}. }
Adicionalmente, se for útil, pode-se escrever
H_e \;=\;\frac{Q_{\rm in}^2}{2\,g\,A_o^2} \quad\text{e}\quad v_i = \frac{Q_{\rm in}}{A_i} = \frac{1}{2{,}25}\,\sqrt{2\,g\,H_e}.

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