Otimize a função
Passo 1
O enunciado pede para otimizar a função
ou seja, encontrar seus extremos (máximos e mínimos locais) no domínio real. Vamos usar cálculo diferencial, em especial as derivadas primeira e segunda, para identificar e classificar esses pontos críticos.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira de
, que indica a inclinação da curva e nos ajuda a achar pontos onde a inclinação é zero (potenciais extremos):
Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Passo 4
Para classificar cada ponto, usamos a derivada segunda
Em
temos
, o que indica um mínimo local.
Em temos
Em
o que indica um máximo local.
Passo 5
Calculamos os valores de
nesses pontos:
Como
quando
e
quando
, não há extremos globais, apenas os locais identificados.
Resposta
Mínimo local em
com valor
.
Máximo local em com valor
.
Não há extremum global no domínio real.
Máximo local em
Não há extremum global no domínio real.