Otimize a função x^{3}+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para otimizar a função
f(x)=x^3+x^2
ou seja, encontrar seus extremos (máximos e mínimos locais) no domínio real. Vamos usar cálculo diferencial, em especial as derivadas primeira e segunda, para identificar e classificar esses pontos críticos.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f, que indica a inclinação da curva e nos ajuda a achar pontos onde a inclinação é zero (potenciais extremos):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^3+x^2\bigr)=3x^2+2x.

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
3x^2+2x=0 \quad\Longrightarrow\quad x(3x+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=-\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Para classificar cada ponto, usamos a derivada segunda
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^2+2x\bigr)=6x+2.
Em x=0 temos f''(0)=2>0, o que indica um mínimo local.
Em x=-\tfrac{2}{3} temos
f''\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)=6\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)+2=-4+2=-2<0,
o que indica um máximo local.

Passo 5

Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(0)=0^3+0^2=0,
f\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)=\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^3+\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^2 =-\tfrac{8}{27}+\tfrac{4}{9} =-\tfrac{8}{27}+\tfrac{12}{27} =\tfrac{4}{27}.
Como f(x)\to+\infty quando x\to+\infty e f(x)\to-\infty quando x\to-\infty, não há extremos globais, apenas os locais identificados.

Resposta

Mínimo local em x=0 com valor f(0)=0.
Máximo local em x=-\tfrac{2}{3} com valor f(-\tfrac{2}{3})=\tfrac{4}{27}.
Não há extremum global no domínio real.

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