(3.0) Determine a equação da elipse e faça um esboço do seu gráfico sabendo que tem centro ( 2,-1 ), medida do eixo maior igual a 6 e foco F_{1}=(0,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujo centro é (2,-1), o eixo maior tem comprimento 6 e um dos focos é F_{1}=(0,-1). Vamos usar a geometria das cônicas, em particular as relações
2a=6,\quad c=\text{distância do centro a um foco},\quad b^{2}=a^{2}-c^{2}â
e depois identificar a orientação para montar a forma padrão da elipse.

Passo 2

Como o eixo maior mede 6, temos
2a = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = 3.
O foco F_{1} está em (0,-1) e o centro em (2,-1), logo
c = \bigl|0 - 2\bigr| = 2.

Passo 3

Usando a relação fundamental da elipse
b^{2} = a^{2} - c^{2}
substituímos a=3 e c=2:
b^{2} = 3^{2} - 2^{2} = 9 - 4 = 5.

Passo 4

Os focos têm mesma ordenada -1 do centro, então o eixo maior é horizontal. A forma padrão para elipse horizontal com centro em (h,k) é
\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1.

Passo 5

Substituindo h=2, k=-1, a^{2}=9 e b^{2}=5, obtemos
\frac{(x - 2)^{2}}{9} + \frac{(y + 1)^{2}}{5} = 1.

Passo 6

Para esboçar o gráfico note:
  • Centro em (2,-1).
  • Vértices no eixo maior: (2\pm a,\,-1)=(2\pm3,\,-1), ou seja (-1,-1) e (5,-1).
  • Co-vértices no eixo menor: \bigl(2,\,-1\pm b\bigr)=\bigl(2,\,-1\pm\sqrt{5}\bigr).
  • Focos em (2\pm c,\,-1)=(2\pm2,\,-1), ou seja (0,-1) e (4,-1).
Desenhe uma curva suave passando pelos vértices e envolvendo os co-vértices, com os focos marcados no interior.

Resposta

A equação da elipse é
\frac{(x - 2)^{2}}{9} + \frac{(y + 1)^{2}}{5} = 1.
Esboço: centro em (2,-1), vértices em (-1,-1) e (5,-1), co-vértices em \bigl(2,-1\pm\sqrt{5}\bigr) e focos em (0,-1) e (4,-1).

Exercícios relacionados