(3.0) Determine a equação da elipse e faça um esboço do seu gráfico sabendo que tem centro ( 2,-1 ), medida do eixo maior igual a 6 e foco F_{1}=(0,-1).
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma elipse cujo centro é (2,-1), o eixo maior tem comprimento 6 e um dos focos é F_{1}=(0,-1). Vamos usar a geometria das cônicas, em particular as relações
2a=6,\quad c=\text{distância do centro a um foco},\quad b^{2}=a^{2}-c^{2}
e depois identificar a orientação para montar a forma padrão da elipse.
Passo 2
Como o eixo maior mede 6, temos
2a = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = 3.
O foco F_{1} está em (0,-1) e o centro em (2,-1), logo
c = \bigl|0 - 2\bigr| = 2.
Passo 3
Usando a relação fundamental da elipse
b^{2} = a^{2} - c^{2}
substituímos a=3 e c=2:
b^{2} = 3^{2} - 2^{2} = 9 - 4 = 5.
Passo 4
Os focos têm mesma ordenada -1 do centro, então o eixo maior é horizontal. A forma padrão para elipse horizontal com centro em (h,k) é