(2.0) O eixo maior de uma elipse é o diâmetro da circunferência de raio 5 e centro (5,-4) Determine a equação da elipse concêntrica (mesmo centro) a esta circunferência e de excentricidade \frac{4}{5}.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma circunferência de centro (5,-4) e raio 5. Queremos uma elipse com o mesmo centro, cujo eixo maior é igual ao diâmetro dessa circunferência e cuja excentricidade é \tfrac{4}{5}.

Passo 2

O eixo maior de comprimento 2a da elipse vale o diâmetro da circunferência, isto é,
2a = 2 \times 5 = 10
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a = 5.

Passo 3

A excentricidade é dada por e = \tfrac{c}{a}. Como e = \tfrac{4}{5} e a = 5, temos
c = a\,e = 5 \times \tfrac{4}{5} = 4.
Em seguida, o semi-eixo menor b satisfaz
b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3.

Passo 4

A forma padrão de uma elipse com centro em (h,k) é
\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1.
Aqui (h,k) = (5,-4), a=5 e b=3. Portanto a equação é
\frac{(x - 5)^2}{25} + \frac{(y + 4)^2}{9} = 1.

Resposta

\frac{(x - 5)^2}{25} + \frac{(y + 4)^2}{9} = 1

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