Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por v(t)=−32t+64, de uma altura de 48 pés. Em que momento, aproximadamente, o objeto alcança a altura de 0 pés?
a) 1,38 s
b) 2,43 s
c) 3,15 s
d) 4,65 s
e) 5,84 s
a) 1,38 s
b) 2,43 s
c) 3,15 s
d) 4,65 s
e) 5,84 s
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos precisar para resolvê-la.
Enunciado Resumido:
Um objeto é lançado para cima com uma velocidade inicial de $ v(t) = -32t + 64 $ pés por segundo, partindo de uma altura de 48 pés. Precisamos descobrir em que momento o objeto atinge a altura de 0 pés.
Um objeto é lançado para cima com uma velocidade inicial de $ v(t) = -32t + 64 $ pés por segundo, partindo de uma altura de 48 pés. Precisamos descobrir em que momento o objeto atinge a altura de 0 pés.
Conteúdo Envolvido:
Estamos lidando com um problema de cinemática, que faz parte da física. Especificamente, vamos utilizar as equações do movimento uniformemente variado para determinar a posição do objeto ao longo do tempo.
Estamos lidando com um problema de cinemática, que faz parte da física. Especificamente, vamos utilizar as equações do movimento uniformemente variado para determinar a posição do objeto ao longo do tempo.
O que Vamos Precisar:
- Equação da velocidade: Já temos $ v(t) = -32t + 64 $.
- Equação da posição: Vamos obter integrando a equação da velocidade.
- Resolver a equação resultante para encontrar o tempo em que a posição é 0 pés.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação da posição $ s(t) $ do objeto em função do tempo. Sabemos que a posição é obtida integrando a velocidade em relação ao tempo.
A equação da velocidade é:
Integrando $ v(t) $ para encontrar $ s(t) $:
Onde $ C $ é a constante de integração. Sabemos que no instante $ t = 0 $, a altura inicial $ s(0) $ é 48 pés. Vamos usar isso para encontrar $ C $:
Portanto, a equação da posição fica:
Passo 3
Agora, queremos descobrir em que momento o objeto atinge a altura de 0 pés. Isso significa que precisamos resolver a equação $ s(t) = 0 $:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por -16:
Essa é uma equação quadrática da forma $ at^2 + bt + c = 0 $. Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Identificando os coeficientes:
Substituindo na fórmula:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
Resposta
A altura de 0 pés é alcançada aproximadamente em 4,65 segundos.
Alternativa d)
Alternativa d)