Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por v(t)=−32t+64, de uma altura de 48 pés. Em que momento, aproximadamente, o objeto alcança a altura de 0 pés?
a) ​1,38 s
b) 2,43 s
c) ​3,15 s
d) ​4,65 s
e) ​5,84 s

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos precisar para resolvê-la.
Enunciado Resumido:
Um objeto é lançado para cima com uma velocidade inicial de $ v(t) = -32t + 64 $ pés por segundo, partindo de uma altura de 48 pés. Precisamos descobrir em que momento o objeto atinge a altura de 0 pés.
Conteúdo Envolvido:
Estamos lidando com um problema de cinemática, que faz parte da física. Especificamente, vamos utilizar as equações do movimento uniformemente variado para determinar a posição do objeto ao longo do tempo.
O que Vamos Precisar:
  1. Equação da velocidade: Já temos $ v(t) = -32t + 64 $.
  2. Equação da posição: Vamos obter integrando a equação da velocidade.
  3. Resolver a equação resultante para encontrar o tempo em que a posição é 0 pés.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação da posição $ s(t) $ do objeto em função do tempo. Sabemos que a posição é obtida integrando a velocidade em relação ao tempo.
A equação da velocidade é:
s(t)
Integrando $ v(t) $ para encontrar $ s(t) $:
v(t) = -32t + 64
v(t)
Onde $ C $ é a constante de integração. Sabemos que no instante $ t = 0 $, a altura inicial $ s(0) $ é 48 pés. Vamos usar isso para encontrar $ C $:
s(t)
Portanto, a equação da posição fica:
s(t) = integral v(t) , dt = integral (-32t + 64) , dt

Passo 3

Agora, queremos descobrir em que momento o objeto atinge a altura de 0 pés. Isso significa que precisamos resolver a equação $ s(t) = 0 $:
s(t) = 0
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por -16:
-16t^2 + 64t + 48 = 0
Essa é uma equação quadrática da forma $ at^2 + bt + c = 0 $. Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
t^2 - 4t - 3 = 0
Identificando os coeficientes:
at^2 + bt + c = 0
Substituindo na fórmula:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1, b = -4, c = -3
t = -(-4) pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1
t = 4 pm raiz16 + 122
t = 4 pm raiz282
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
t = 4 pm 2raiz72

Resposta

A altura de 0 pés é alcançada aproximadamente em 4,65 segundos.
Alternativa d)

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