Dada a equação geral do plano : 3x - 2y - z - 6 = 0, determinar um sistema de equações paramétricas de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é a equação geral de um plano: 3x - 2y - z - 6 = 0. Nosso objetivo é transformar essa equação em um sistema de equações paramétricas. Para fazer isso, vamos usar conceitos de geometria analítica que envolvem encontrar um ponto no plano e duas direções que ficam dentro desse plano. Assim, conseguimos expressar qualquer ponto no plano com dois parâmetros, geralmente chamados de s e t.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um ponto que esteja no plano. Para isso, podemos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira.
Vamos deixar y = 0 e z = 0 para simplificar:
3x - 2(0) - 0 - 6 = 0 implies 3x - 6 = 0 implies x = 2
Então, temos o ponto P(2, 0, 0) que está no plano.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar duas direções que estão no plano. Para isso, escolhemos dois vetores que satisfazem a equação do plano.
Primeiro vetor:
Vamos deixar x = 0 e resolver para y e z.
3(0) - 2y - z - 6 = 0 implies -2y - z = 6
Vamos deixar y = 3:
-2(3) - z = 6 implies -6 - z = 6 implies z = -12
Então, o primeiro vetor de direção é $ \mathbf{v}_1 = (0, 3, -12) $.
Segundo vetor:
Vamos deixar v1 = (0, 3, -12) e resolver para y = 0 e x.
z
Vamos deixar 3x - 2(0) - z - 6 = 0 implies 3x - z = 6 :
x = 2
Então, o segundo vetor de direção é $ \mathbf{v}_2 = (2, 0, 0) $.

Passo 4

Com o ponto P(2, 0, 0) e os vetores de direção $ \mathbf{v}_1 = (0, 3, -12) $ e $ \mathbf{v}_2 = (2, 0, 0) $, podemos montar as equações paramétricas do plano.
Isso fica assim:
v1 = (0, 3, -12)
Onde v2 = (2, 0, 0) e x = 2 + 0 cdot s + 2 cdot t y = 0 + 3 cdot s + 0 cdot t z = 0 - 12 cdot s + 0 cdot t são os parâmetros.

Resposta

As equações paramétricas do plano pi são:
x = 2 + 2t y = 3s z = -12s
onde s e t são números reais.

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