Dada a equação geral do plano : 3x - 2y - z - 6 = 0, determinar um sistema de equações paramétricas de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é a equação geral de um plano: . Nosso objetivo é transformar essa equação em um sistema de equações paramétricas. Para fazer isso, vamos usar conceitos de geometria analítica que envolvem encontrar um ponto no plano e duas direções que ficam dentro desse plano. Assim, conseguimos expressar qualquer ponto no plano com dois parâmetros, geralmente chamados de e .
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um ponto que esteja no plano. Para isso, podemos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira.
Vamos deixar e para simplificar:
Então, temos o ponto que está no plano.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar duas direções que estão no plano. Para isso, escolhemos dois vetores que satisfazem a equação do plano.
Primeiro vetor:
Vamos deixar e resolver para e .
Vamos deixar :
Então, o primeiro vetor de direção é $ \mathbf{v}_1 = (0, 3, -12) $.
Segundo vetor:
Vamos deixar e resolver para e .
Vamos deixar :
Então, o segundo vetor de direção é $ \mathbf{v}_2 = (2, 0, 0) $.
Passo 4
Com o ponto e os vetores de direção $ \mathbf{v}_1 = (0, 3, -12) $ e $ \mathbf{v}_2 = (2, 0, 0) $, podemos montar as equações paramétricas do plano.
Isso fica assim:
Onde v2 = (2, 0, 0) e x = 2 + 0 cdot s + 2 cdot t y = 0 + 3 cdot s + 0 cdot t z = 0 - 12 cdot s + 0 cdot t são os parâmetros.