Dada a equação da hipérbole x²/9 - y²/16 = 1 determine excentricidade

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a excentricidade de uma hipérbole dada pela equação x^29 - y^216 = 1. Vamos precisar entender como identificar os elementos da hipérbole e usar a fórmula da excentricidade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma hipérbole com eixo horizontal é dada por:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro da hipérbole, a é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x, e b é a distância relacionada ao eixo y.
No nosso caso, a equação é x^29 - y^216 = 1. Comparando com a forma geral, vemos que o centro é (0, 0), a^2 = 9 e b^2 = 16.

Passo 3

Vamos encontrar os valores de a e b. Sabemos que:
a = raiza^2 = raiz9 = 3
b = raizb^2 = raiz16 = 4
Então, a = 3 e b = 4.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a excentricidade e da hipérbole. A excentricidade mede o quão “esticada” é a hipérbole e é calculada pela fórmula:
e = raiz1 + b^2a^2
Vamos usar os valores de a e b que encontramos.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
e = raiz1 + 169 = raiz1 + 169 = raiz99 + 169 = raiz259 = 53

Resposta

A excentricidade da hipérbole é 53.

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