A variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade f(x) = 6x (1−x), se 0 < x < 1 e f(x) = 0, se x ≤ 0 ou x ≥ 1. Qual é a média de X?
Passo 1
Beleza, vamos começar! O exercício nos dá a função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória $ X $, que é $ f(x) = 6x(1 - x) $ para $ 0 < x < 1 $ e $ f(x) = 0 $ fora desse intervalo. Nosso objetivo aqui é descobrir a média dessa variável $ X $. Para isso, vamos precisar entender como calcular a média (ou valor esperado) de uma variável contínua usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a média de uma variável aleatória contínua $ X $ é calculada usando a fórmula da integral do produto de $ x $ pela função de densidade $ f(x) $ sobre todo o domínio de $ X $. Matemáticamente, isso é representado por:
No nosso caso específico, como $ f(x) = 0 $ para $ x \leq 0 $ e $ x \geq 1 $, a integral fica limitada de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ f(x) $ na fórmula da média:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo.
Passo 4
Multiplicando $ x $ por $ 6x(1 - x) $, temos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral termo a termo. A integral de $ 6x^2 $ é:
E a integral de $ -6x^3 $ é:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 1.
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Então, a média $ \mu $ é:
Resposta
A média de $ X $ é $ \frac{1}{2} $.