Dada a equação
\left(x+y^{2}\right) d x-2 x y d y=0
Responda a cada um dos itens abaixo:
(a) determine se a equação é não-exata e um possível fator integrante;
(b) resolva a equação.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(x+y^{2}\bigr)\,dx - 2xy\,dy = 0
e pede (a) verificar se ela não é exata e encontrar um possível fator integrante; (b) resolver a equação. O conteúdo envolvido é teste de exatidão de formas diferenciais e uso de fator integrante, seguido de integração para achar a solução implícita.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x + y^{2}, \quad N(x,y) = -2xy.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -2y,
logo \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x e a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu que dependa só de x. Usamos a condição
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} = \frac{2y - (-2y)}{-2xy} = \frac{4y}{-2xy} = -\frac{2}{x},
que é função apenas de x. Então
\frac{d\ln\mu}{dx} = -\frac{2}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\mu = -2\ln|x| + \text{const} \quad\Longrightarrow\quad \mu(x) = x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu = x^{-2}, obtendo
\Bigl(\tfrac{x+y^2}{x^2}\Bigr)\,dx \;+\;\Bigl(\tfrac{-2xy}{x^2}\Bigr)\,dy = 0 \;\Longrightarrow\; M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy = 0,
onde
M^*(x,y) = \frac{1}{x} + \frac{y^2}{x^2}, \quad N^*(x,y) = -\frac{2y}{x}.
Verificamos a exatidão:
\frac{\partial M^*}{\partial y} = \frac{2y}{x^2}, \quad \frac{\partial N^*}{\partial x} = -2y\cdot\bigl(-1\bigr)\frac{1}{x^2} = \frac{2y}{x^2},
logo é exata.

Passo 5

Buscamos um potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M^*(x,y) = \frac{1}{x} + \frac{y^2}{x^2}.
Integramos em x:
\psi(x,y) = \int\Bigl(\frac{1}{x} + \frac{y^2}{x^2}\Bigr)\,dx = \ln|x| - \frac{y^2}{x} + h(y).
Agora impomos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = -\frac{2y}{x} + h'(y) \stackrel{!}{=} N^*(x,y) = -\frac{2y}{x},
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Resposta

A solução implícita geral fica
\ln|x| - \frac{y^2}{x} = C,
onde C é constante.

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