Dada a equação
Responda a cada um dos itens abaixo:
(a) determine se a equação é não-exata e um possível fator integrante;
(b) resolva a equação.
(a) determine se a equação é não-exata e um possível fator integrante;
(b) resolva a equação.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede (a) verificar se ela não é exata e encontrar um possível fator integrante; (b) resolver a equação. O conteúdo envolvido é teste de exatidão de formas diferenciais e uso de fator integrante, seguido de integração para achar a solução implícita.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
logo
e a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos a condição
que é função apenas de
. Então
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
onde
Verificamos a exatidão:
logo é exata.
Passo 5
Buscamos um potencial
tal que
Integramos em
:
Agora impomos
logo
e
é constante.
Resposta
A solução implícita geral fica
onde
é constante.