A quantidade de luz absorvida ao passar por uma camada delgada de água é proporcional à quantidade de luz que incide sobre a mesma e à espessura desta camada. Se ao atravessar uma camada de água de 3 metros de espessura é absorvida metade da quantidade inicial de luz, que parte chegará até a profundidade de 30 metros?
Passo 1
O enunciado diz que a luz é absorvida de forma proporcional à intensidade incidente e à espessura da camada de água. Isso leva ao modelo diferencial
onde
é a intensidade após percorrer
metros e
é a constante de absorção. Vamos usar esse modelo para encontrar a fração de luz que chega a
metros.
Passo 2
Integramos o modelo diferencial para obter a solução geral. Separando variáveis:
e integrando de
a
:
logo
onde
é a intensidade inicial.
Passo 3
Usamos a condição de que, em
metros, metade da luz é absorvida, ou seja, sobra metade da intensidade:
Substituindo na solução:
Passo 4
Para
metros, a fração transmitida é
Resposta
A fração da luz que chega até
metros é
.