A quantidade de luz absorvida ao passar por uma camada delgada de água é proporcional à quantidade de luz que incide sobre a mesma e à espessura desta camada. Se ao atravessar uma camada de água de 3 metros de espessura é absorvida metade da quantidade inicial de luz, que parte chegará até a profundidade de 30 metros?

Passo 1

O enunciado diz que a luz é absorvida de forma proporcional à intensidade incidente e à espessura da camada de água. Isso leva ao modelo diferencial
\frac{dI}{dx} = -k\,I,
onde I(x) é a intensidade após percorrer x metros e k é a constante de absorção. Vamos usar esse modelo para encontrar a fração de luz que chega a 30 metros.

Passo 2

Integramos o modelo diferencial para obter a solução geral. Separando variáveis:
\frac{dI}{I} = -k\,dx
e integrando de 0 a x:
\ln\bigl(I(x)\bigr) - \ln\bigl(I_0\bigr) = -k\,x,
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I(x) = I_0\,e^{-k x},
onde I_0 = I(0) é a intensidade inicial.

Passo 3

Usamos a condição de que, em x = 3 metros, metade da luz é absorvida, ou seja, sobra metade da intensidade:
I(3) = \tfrac12\,I_0.
Substituindo na solução:
\tfrac12\,I_0 = I_0\,e^{-3k} \quad\Longrightarrow\quad e^{-3k} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\ln 2}{3}.

Passo 4

Para x = 30 metros, a fração transmitida é
\frac{I(30)}{I_0} = e^{-k\cdot 30} = e^{-30\cdot\frac{\ln 2}{3}} = e^{-10\ln2} = \bigl(e^{\ln2}\bigr)^{-10} = 2^{-10} = \frac{1}{1024}.

Resposta

A fração da luz que chega até 30 metros é \tfrac{1}{1024}.

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