Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial
\begin{gathered} y^{\prime} \sin (x)=y \ln (y) \\\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' \sin(x) = y \ln(y), \quad y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
O conteúdo é de equação diferencial de primeira ordem e separável. Vamos usar separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos y' isolado:
y' = \frac{y \ln(y)}{\sin(x)}.
Em notação de diferencial, isso é
\frac{dy}{dx} = \frac{y \ln(y)}{\sin(x)}.
Agora separamos as variáveis y e x:
\frac{1}{y \ln(y)}\,dy = \frac{1}{\sin(x)}\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados. Para o lado de y, fazemos u=\ln(y), de modo que du = \tfrac{1}{y}\,dy. Então
\int \frac{1}{y \ln(y)}\,dy = \int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl|u\bigr| + C_1 = \ln\bigl|\ln(y)\bigr| + C_1.

Passo 4

Para o lado de x, reconhecemos \tfrac{1}{\sin(x)}=\csc(x) e usamos a integral conhecida
\int \csc(x)\,dx = \ln\bigl|\tan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr| + C_2.
Assim, igualando as integrais,
\ln\bigl|\ln(y)\bigr| = \ln\bigl|\tan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr| + C,
onde C=C_2 - C_1.

Passo 5

Exponenciando, obtemos
\bigl|\ln(y)\bigr| = A\,\bigl|\tan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr|, \quad A = e^{C}>0.
Isso leva à família
\ln(y) = B\,\tan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),
com constante real B. Logo
y(x) = \exp\!\bigl(B\,\tan(\tfrac{x}{2})\bigr).
Aplicando a condição inicial y(\tfrac{\pi}{2})=1, temos \tan(\tfrac{\pi}{4})=1, logo
1 = y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \exp(B\cdot1) \quad\Longrightarrow\quad B = 0.
Isso implica y(x)=\exp(0)=1 para todo x.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = 1.

Exercícios relacionados