Dada a equação de onda nabla^2 E=1c^2 partial^2partial t^2 E mostre que E=E0 e^i(K cdot r-w t) é solução.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que a funçãozinha
E(vec r,t)=vec E0,e^,il(vec Kcdotvec r - omega tr)
é solução da equação de onda
nabla^2vec E ;=;1c^2,partial^2vec Epartial t^2,
Conteúdo: equação de onda (PDE), operadores diferenciais (Laplaciano e derivada temporal), e a ideia de “onda plana” ou “ansatz de exponencial”. Vamos precisar saber como derivar exponenciais no espaço e no tempo, e entender o que é o operador ∇².

Passo 2

Primeiro, calcula o Laplaciano espacial de nabla^2vec E = l(partialx^2+partialy^2+partialz^2r)l[vec E0,e^i(vec Kcdotvec r-omega t)r].
Por definição,
partialx^2,e^i(vec Kcdotvec r-omega t) = (iKx)^2,e^i(vec Kcdotvec r-omega t) = -Kx^2,e^i(vec Kcdotvec r-omega t),
Como nabla^2vec E = -(Kx^2+Ky^2+Kz^2),vec E0,e^i(vec Kcdotvec r-omega t) = -|vec K|^2,vec E(vec r,t) é constante e a exponencial depende de via , cada derivada em traz um fator , cada uma em traz e em traz . Então:

e o mesmo vale para e . Somando:

Passo 3

Agora, calcula a segunda derivada em relação ao tempo:
partial^2vec Epartial t^2 = vec E0,partial^2partial t^2 l[e^,i(vec Kcdotvec r - omega t)r]
Cada derivada em partialt,e^i(vec Kcdotvec r-omega t) = -iomega,e^i(vec Kcdotvec r-omega t), puxa um fator partialt^2,e^i(vec Kcdotvec r-omega t) = (-iomega)^2,e^i(vec Kcdotvec r-omega t) = -omega^2,e^i(vec Kcdotvec r-omega t) , então:
partial^2vec Epartial t^2 = -omega^2,vec E(vec r,t)
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Passo 4

Substitui na equação de onda:
LHS = -|vec K|^2,vec E = -omega^2c^2,vec E Longrightarrow omega^2 = c^2,|vec K|^2 .
RHS = .
Para as duas coisas casarem, a gente precisa de
Essa relação é o requisito de dispersão de uma onda que viaja à velocidade .

Resposta

A função
E(vec r,t)=vec E0,e^i(vec Kcdotvec r-omega t)
satisfaz a equação de onda

desde que valha a relação de dispersão
.

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