Deduza o movimento de uma carga q frente a uma atração de onda eletromagnética monocromática no eixo z. E=Eo cos (k z-w t) x B=kC E y

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente “deduzir o movimento de uma carga vec E = E0cos(kz - omega t),hat x, vec B = kc,E0cos(kz - omega t),hat y ” quando ela é atingida por uma onda eletromagnética monocromática que viaja no eixo . Os campos são
Conteúdo principal: força de Lorentz e equações de movimento de uma partícula carregada em E e B. Vamos precisar
  1. escrever a força de Lorentz ,
  2. separar componentes em e ,
  3. resolver passo a passo as equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, escreve a equação em mddot x = q,E0cos(kz - omega t) . A força de Lorentz na direção cos(kz - omega t)approx cos(-omega t)=cos(omega t) é só , pois não tem componente em quando está em e em . Logo
Para simplificar, assumimos que a partícula não se desloca muito em (movimento pequeno), então e a gente aproxima

Passo 3

Agora é resolver
m,ddot x = q,E0cos(omega t)
Isso é uma EDO simples de oscilador forçado. Integrando duas vezes (e tomando condições iniciais x(t) = qE0momega^2,cos(omega t) , ), obtemos
Explico rápido: duas integrações de dão .

Passo 4

A velocidade em vx(t)=dot x(t) = -,qE0momega,sin(omega t) sai derivando :

Passo 5

Agora a componente em m,ddot z = q,(vx,By) = q(-qE0momegasinomega t)! (kcE0cosomega t) . A única contribuição vem de ddot z = -,q^2E0^2,km^2omega,c, sin(omega t)cos(omega t) = -,q^2E0^2,k2m^2omega,c, sin(2omega t) . Como está em e , temos
Juntando tudo:

Passo 6

Integramos duas vezes de novo, com condições z(t)=q^2E0^2,k8,m^2omega^3,c,sin(2omega t) , :
  1. .
    A condição leva a .
  2. .
    A condição faz .
Então

Resposta

A trajetória da carga, em aproximação não-relativística e para oscilações pequenas, fica
boxed x(t)=qE0momega^2,cos(omega t), z(t)=q^2E0^2,k8,m^2omega^3,c,sin(2omega t)
Ou seja, ela faz um “oito” no plano , com frequência em e em .

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