Esboce o gráfico e determine a equação geral da parábola de vértice V=(4,2) e foco F=(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma parábola cujo vértice é V = (4, 2) e o foco é F = (1, 2) . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a equação de uma parábola e como os pontos vértice e foco se relacionam nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção em que a parábola abre. Como o vértice e o foco têm a mesma coordenada y ( y = 2 ), a parábola é horizontal. Além disso, como o foco está à esquerda do vértice (1 < 4), a parábola abre para a esquerda.

Passo 3

A equação padrão de uma parábola horizontal é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Aqui, (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância do vértice ao foco. Se p for negativo, a parábola abre para a esquerda; se for positivo, abre para a direita.

Passo 4

Vamos identificar os valores na nossa situação:
  • Vértice (h, k) = (4, 2)
  • Foco (h + p, k) = (1, 2)
Como o foco está em x = 1 e o vértice em x = 4 , temos:
p = 1 - 4 = -3
Então, p = -3 .

Passo 5

Substituindo h = 4 , k = 2 e p = -3 na equação padrão:
(y - 2)^2 = 4(-3)(x - 4)
Simplificando:
(y - 2)^2 = -12(x - 4)

Passo 6

Agora, vamos expandir essa equação para obter a equação geral da parábola:
(y - 2)^2 = -12(x - 4)
Expandindo o lado esquerdo:
y^2 - 4y + 4 = -12x + 48
Levantando tudo para um lado:
y^2 - 4y + 4 + 12x - 48 = 0
Simplificando:
y^2 - 4y + 12x - 44 = 0
Então, a equação geral da parábola é:
y^2 - 4y + 12x - 44 = 0

Resposta

A equação geral da parábola com vértice em V = (4, 2) e foco em F = (1, 2) é:
y^2 - 4y + 12x - 44 = 0

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