Dada a equação do parabolóide hiperbólico x^2-2 y^2=4 z determine:
as equações das cônicas determinadas pela intersecção do parabolóide hiperbólico dada e pelos planos coordenados ( xy, xz e yz) e classifique - as (elipse, hipérbole ou parábola);

Passo 1

O enunciado dá o parabolóide hiperbólico
x^2-2y^2=4z
e pede para achar as curvas obtidas ao intersectar essa superfície com cada um dos planos coordenados xy (onde z=0), xz (onde y=0) e yz (onde x=0), além de classificar cada curva (elipse, hipérbole ou parábola).

Passo 2

Intersecção com o plano xy ( z=0). Substituindo z=0 na equação do parabolóide:
x^2-2y^2=0
Esse é um caso de hipérbole degenerada, pois fatoriza em
x^2-2y^2=(x-raiz2,y)(x+raiz2,y)=0,
isto é, um par de retas concorrentes.

Passo 3

Intersecção com o plano xz ( y=0). Substituindo y=0 na equação do parabolóide:
x^2=4z,
que pode ser reescrita em forma de parábola no plano xz:
z=x^24

Passo 4

Intersecção com o plano yz ( x=0). Substituindo x=0 na equação do parabolóide:
-2y^2=4z,
ou seja
z=-y^22,
que também é uma parábola, agora voltada para valores negativos de z.

Resposta

Plano xy (z=0): x^2-2y^2=0, hipérbole degenerada (par de retas).
Plano xz (y=0): x^2=4z, parábola.
Plano yz (x=0): -2y^2=4z ou z=-tfracy^22, parábola.

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