Determine as coordenadas do centro e dos focos do eixo focal ( F1 e F2) da hipérbole determinada pela intersecção do hiperbolóide x^24-y^29+z^216=1 e do plano z=2.

Passo 1

O enunciado pede o hiperboloide
x^24-y^29+z^216=1
intersectado com o plano z=2. O resultado é uma hipérbole em z=2. Precisamos achar a equação dessa hipérbole em coordenadas x,y, identificar seu centro e usar a relação c^2=a^2+b^2 para obter os focos.

Passo 2

Substituindo z=2 na equação do hiperboloide:
x^24-y^29+2^216=1
x^24-y^29+416=1
x^24-y^29+14=1
Subtraindo tfrac14 de ambos os lados e colocando em forma padrão:
x^24-y^29=34 Longrightarrow x^23-y^2tfrac274=1

Passo 3

Da equação
x^23-y^2tfrac274=1
vemos que a hipérbole está centrada na origem do plano z=2, ou seja, seu centro é
(0,0,2)

Passo 4

Comparando com x^2a^2-y^2b^2=1, temos
a^2=3, b^2=274
Os focos satisfazem c^2=a^2+b^2, logo
c^2=3+274=394 Longrightarrow c=raiz392
Como o eixo transverso é paralelo a x, os focos são
F1=l(-tfracraiz392,,0,,2r), F2=l(tfracraiz392,,0,,2r)

Resposta

Centro: (0,0,2)
Focos: F1=l(-tfracraiz392,0,2r) e F2=l(tfracraiz392,0,2r).

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