Dada a equação do plano pi:cx=1+a-2 b y=1-b z=4+2 a-2 b, obtenha a equação cartesiana. (R.: 2 x-2 y-z+4=0 )

Passo 1

O enunciado dá o plano pi em forma paramétrica
x = 1 + a - 2b, y = 1 - b, z = 4 + 2a - 2b,
e pede a sua equação cartesiana. O conteúdo é geometria analítica no espaço; vamos extrair um ponto do plano, dois vetores diretores e daí obter o vetor normal por produto vetorial.

Passo 2

Escolhendo a=0 e b=0 obtemos um ponto no plano:
P0 = (1,1,4)
Os vetores diretores são as derivadas em relação a a e b:
u = partial(x,y,z)partial a = (1,0,2), v = partial(x,y,z)partial b = (-2,-1,-2)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial utimes v. Calculando:
n = (1,0,2)times(-2,-1,-2) = l| i & j & k 1 & 0 & 2 -2 & -1 & -2 r| = (2,-2,-1)

Passo 4

A equação cartesiana faz ncdotl((x,y,z)-P0r)=0. Assim,
(2,-2,-1)cdotl(x-1,;y-1,;z-4r)=0
2(x-1)-2(y-1)-1(z-4)=0
2x-2-2y+2-z+4=0
2x-2y-z+4=0

Resposta

2x-2y-z+4=0

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