Seja pi o plano de equação 2 x-y-3 z=-5. Determine o valor de m para que o ponto P=(m, m+2,2) pertença ao plano. Este plano passa pela origem? Como deveria ser a equação de um plano paralelo a esse, passando pela origem? (R.: m=3, não passa pela origem, 2 x-y-3 z=0 )

Passo 1

O enunciado nos dá o plano pi de equação
2x - y - 3z = -5
e o ponto P=(m,,m+2,,2). Precisamos de três coisas:
  1. encontrar m para que P pertença a pi, usando a condição de que um ponto está no plano se suas coordenadas satisfazem a equação;
  2. verificar se a origem (0,0,0) satisfaz essa equação;
  3. achar a equação de um plano paralelo a pi que passe pela origem, sabendo que planos paralelos têm o mesmo vetor normal.

Passo 2

Para que P esteja em pi, basta substituir as coordenadas de P na equação do plano:
2(m) - (m+2) - 3cdot2 = -5
Distribuindo e agrupando termos,
2m - m - 2 - 6 = -5 ;Longrightarrow; m - 8 = -5 ;Longrightarrow; m = 3

Passo 3

Vamos testar se a origem (0,0,0) está em pi. Substituindo x=0, y=0, z=0 em
2x - y - 3z = -5
recebemos
2cdot0 - 0 - 3cdot0 = 0 neq -5
Logo, a origem não pertence a pi.

Passo 4

Dois planos são paralelos quando compartilham o mesmo vetor normal. O normal de pi é n=(2,,-1,,-3), logo um plano paralelo tem equação
2x - y - 3z + D = 0
Para que esse plano passe pela origem, basta que (0,0,0) satisfaça a equação:
2cdot0 - 0 - 3cdot0 + D = 0 ;Longrightarrow; D = 0
Assim, a equação do plano paralelo que passa pela origem é
2x - y - 3z = 0

Resposta

m = 3, o plano original não passa pela origem, e o plano paralelo pedido é
2x - y - 3z = 0

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