Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 5 x+2 y-3 z+6=0. O ponto M=(1,0,1) pertence a esse plano? (R.: 5 x+2 y-3 z=0, M notin pi )

Passo 1

O enunciado pede o plano que passa pela origem e é paralelo ao plano dado
pi0:5x+2y-3z+6=0
Para ter paralelismo, o vetor normal de nosso plano deve ser o mesmo de pi0, ou seja (5,2,-3). Vamos usar isso para obter a forma cartesiana e depois a forma paramétrica.

Passo 2

Como o plano passa pela origem (0,0,0) e tem vetor normal (5,2,-3), sua equação cartesiana é
5x+2y-3z=0

Passo 3

Para escrever as equações paramétricas, basta encontrar duas direções v1 e v2 ortogonais ao vetor normal (5,2,-3). Por exemplo, escolhemos
v1=(2,-5,0) e v2=(3,0,5),
pois
5cdot2+2cdot(-5)-3cdot0=0, 5cdot3+2cdot0-3cdot5=0
Logo, um ponto genérico do plano é dado por
(x,y,z) = s,(2,-5,0) ;+; t,(3,0,5), s,tinR,
ou seja
x=2s+3t y=-5s z=5t s,tinR

Passo 4

Para verificar se M=(1,0,1) pertence ao plano, substituímos na equação cartesiana:
5cdot1 + 2cdot0 - 3cdot1 = 5 - 3 = 2 neq 0
Portanto, M não pertence ao plano.

Resposta

Equação cartesiana:
(M\notin\pi]

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