Determinar a posição relativa das retas abaixo e sua interseção, se houver: e r2:lx=-1+4 s y=2+3 s z=5-2 s (Resposta:Reversas)
Passo 1
O enunciado dá duas retas em R^3 em forma paramétrica e pede sua posição relativa (intersectam, são paralelas, coincidentes ou reversas) e, se houver, o ponto de interseção. Na teoria de geometria analítica em R^3, extraímos os vetores diretores, comparamos para ver se são colineares (paralelismo) e, caso não sejam, tentamos resolver um sistema para verificar interseção.
Passo 2
Extraímos os vetores diretores:
Da reta r1:,x=t+2,;y=-2t+4,;z=3t+1 vem
vec v1 = (1,,-2,,3)
Da reta r2:,x=-1+4s,;y=2+3s,;z=5-2s vem
vec v2 = (4,,3,,-2)
Para serem paralelas teríamos vec v2 = k,vec v1 para algum escalar k. Como não existe k que satisfaça todas as três coordenadas simultaneamente, as retas não são paralelas.
Passo 3
Procuramos um ponto comum igualando coordenadas e resolvendo para
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Na terceira, o lado esquerdo é
enquanto o direito é
Como (\tfrac{8}{11}\neq\tfrac{39}{11}], não há solução comum.
Passo 4
As direções não são colineares (não paralelas) e não existe ponto de interseção. Portanto, as retas são reversas (skew).