Escreva a equação do plano que contem, o ponto A=(2,1,-1) e é ortogonal ao vetor v=i-2 j+3 k. Os pontos B=(0,-1,0) e C=(2,1,-1) pertencem a esse plano? Justifique. (R.: x-2 y+3 z+3=0, B notin pi e C in pi )

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que contém o ponto A=(2,1,-1) e é ortogonal ao vetor vec v=vec i-2vec j+3vec k.
Conteúdo: equação de um plano na forma ponto–normal, usando que se n é normal ao plano e r0 um ponto nele, então
ncdot( r- r0)=0

Passo 2

Identificamos o vetor normal
n = (1,-2,3),
e o ponto
r0=(2,1,-1)
Escrevendo r=(x,y,z), a forma ponto–normal é
(1,-2,3)cdotl((x,y,z)-(2,1,-1)r)=0
Fazendo o produto escalar e expandindo,
1,(x-2)-2,(y-1)+3,(z+1)=0 Longrightarrow x-2y+3z+3=0

Passo 3

Para ver se B=(0,-1,0) pertence a pi, substituímos na equação:
x-2y+3z+3|(0,-1,0) =0-2(-1)+3cdot0+3=0+2+0+3=5neq0
Como não dá zero, Bnotinpi.

Passo 4

Para o ponto C=(2,1,-1), fazemos o mesmo:
x-2y+3z+3|(2,1,-1) =2-2cdot1+3(-1)+3=2-2-3+3=0
Como dá zero, Cinpi.

Resposta

Equação do plano:
x-2y+3z+3=0
Bnotinpi e Cinpi.

Exercícios relacionados