Dada a equação do plano a x+b y+c z+d=0, estude e esboce os gráficos quando:
a=0, b=4, c=2, d=-12;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral do plano
a,x + b,y + c,z + d = 0
e pede para estudar e esboçar o caso em que
a = 0, b = 4, c = 2, d = -12
O conteúdo é geometria analítica em R^3: vamos identificar a forma explícita do plano, suas interseções com os eixos e planos coordenados, verificar paralelismos e finalmente descrever o esboço.

Passo 2

Substituindo os valores de a,b,c,d na equação geral, obtemos
0cdot x + 4,y + 2,z - 12 = 0
ou seja
4,y + 2,z - 12 = 0

Passo 3

Isolando z, escrevemos o plano na forma de função de (x,y):
2,z = 12 - 4,y Longrightarrow z = 6 - 2,y
Note que x não aparece nesta expressão, o que implica que o plano é paralelo ao eixo x.

Passo 4

Vamos agora achar as interseções (traces) com eixos e planos coordenados:
1. Interseção com o eixo y ( x=0,z=0):
4,y + 2cdot0 - 12 = 0 Rightarrow y=3.
Ponto (0,3,0).
2. Interseção com o eixo z ( x=0,y=0):
4cdot0 + 2,z - 12 = 0 Rightarrow z=6.
Ponto (0,0,6).
3. Interseção com o eixo x ( y=0,z=0):
4cdot0 + 2cdot0 -12 = -12neq0.
Não há ponto: o plano é paralelo ao eixo x.
4. Trace no plano xy ( z=0):
4,y -12=0 Rightarrow y=3.
Linha (x,3,0)mid xinR, paralela ao eixo x.
5. Trace no plano xz ( y=0):
2,z -12=0 Rightarrow z=6.
Linha (x,0,6)mid xinR, paralela ao eixo x.

Passo 5

Domínio e contradomínio como função de duas variáveis:
z = 6 - 2,y
aceita qualquer (x,y)inR^2, e produz zinR. O plano é infinito e estende-se em todas as direções paralelas a x.

Passo 6

Esboço qualitativo:
  • Marcar no eixo y o ponto (0,3,0) e no eixo z o ponto (0,0,6).
  • Desenhar a reta de interseção com o plano xy em y=3 (reta paralela a x em z=0).
  • Desenhar a reta de interseção com o plano xz em z=6 (reta paralela a x em y=0).
  • O plano passa por essas retas e é paralelo ao eixo x, formando uma “lamina inclinada” no sentido do plano yz.

Resposta

O plano fica
4,y + 2,z - 12 = 0 Long<=ftrightarrow z = 6 - 2,y,
é paralelo ao eixo x, intercepta o eixo y em (0,3,0) e o eixo z em (0,0,6), e suas traces nos planos coordenados são as retas
(x,3,0) e (x,0,6), ambas paralelas a x.

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