Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (0,0) (x+y) sen(raiz|x y|)raiz|x y|

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)to(0,0):
lim(x,y)to(0,0)(x+y),sinl(raiz|xy|r)raiz|xy|
O conteúdo é cálculo de limite em várias variáveis e usaremos o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Observe a parte
sinl(raiz|xy|r)raiz|xy|
Seja t=raiz|xy|. Quando (x,y)to(0,0), temos tto0 e sabemos que
limtto0sin(t)t=1

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Confronto, note que para todo tneq0 vale
|sin(t)t|<=1
Logo
|(x+y),sinl(raiz|xy|r)raiz|xy|| ;=;|x+y|;|sinl(raiz|xy|r)raiz|xy|| ;<=;|x+y|;<=;|x|+|y|

Passo 4

Como
lim(x,y)to(0,0)l(|x|+|y|r)=0,
pelo Teorema do Confronto concluímos que
lim(x,y)to(0,0)(x+y),sinl(raiz|xy|r)raiz|xy|=0

Resposta

O limite existe e vale 0.

Exercícios relacionados