Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (0,0) x^2 y e^-yx^4+4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe
lim(x,y)to(0,0) x^2y,e^-yx^4+4y^2
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos testar diferentes trajetórias para ver se o valor é sempre o mesmo.

Passo 2

Considere a trajetória x=0. Substituindo em x^2y,e^-yx^4+4y^2 vem
0cdot y,e^-y0+4y^2=0
Logo, ao aproximar por x=0, o limite vale 0.

Passo 3

Agora use a trajetória y=m,x^2, com m constante. Então
x^2(m x^2),e^-m x^2x^4+4(m x^2)^2 =m x^4,e^-m x^2x^4(1+4m^2) =m,e^-m x^21+4m^2
Fazendo xto0 temos e^-m x^2to1, logo o limite nesta trajetória é
m1+4m^2

Passo 4

Como m1+4m^2 depende de m, trajetórias diferentes dão valores diferentes (por exemplo, m=0 0, m=1 1/5). Portanto não existe um valor único.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados