Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0)sin(x^2+y^2)x^2+y^2.
Trata-se de um limite em várias variáveis e a ideia é notar que a expressão depende somente de x^2+y^2.

Passo 2

Usamos coordenadas polares: seja
x = rcostheta, y = rsintheta,
então x^2+y^2 = r^2 e a função vira
sin(x^2+y^2)x^2+y^2 = sin(r^2)r^2
Quando (x,y)to(0,0), temos rto0^+.

Passo 3

Definindo t=r^2, obtemos tto0^+ e
sin(r^2)r^2 = sin(t)t
Do limite clássico limtto0sin(t)t=1, segue que
lim(x,y)to(0,0)sin(x^2+y^2)x^2+y^2=1.

Resposta

O limite existe e vale 1.

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