Resolva:
CÁLCULO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea
O que se pede: encontrar a solução geral
dessa equação (ou seja, a família de soluções que envolve duas constantes arbitrárias).
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (isto nos dá a parte complementar da solução geral). A homogênea é
A técnica clássica para equações lineares com coeficientes constantes é tentar uma solução do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Esta é uma quadrática que fatoriza:
logo as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Dica: cada raiz
gera o termo
.)
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para a equação não-homogênea. Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 1,
, usamos o método dos coeficientes indeterminados e tentamos um polinômio de grau 1:
onde
e
são constantes a determinar. Antes de aplicar, verificamos se alguma parte dessa tentativa pertence à solução homogênea (ressonância). A solução homogênea é composta por exponenciais
e
, não por polinômios, então não há ressonância e a tentativa
é adequada.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e substituímos na equação:
Substituindo em
obtém-se
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Igualando coeficientes do polinômio em
temos um sistema linear:
coeficiente de :
coeficiente de
termos constantes:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 5
Portanto a solução particular é
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
(Se quiser verificar na prova: derive duas vezes, some as derivadas como no enunciado e confira que o resultado é
. Boa! Você já tem a forma que deve apresentar.)