Resolva: y^{\prime \prime}(x)+y^{\prime}(x)-2 y(x)=3 x+2 CÁLCULO:

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea
y''(x)+y'(x)-2y(x)=3x+2.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) dessa equação (ou seja, a família de soluções que envolve duas constantes arbitrárias).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (isto nos dá a parte complementar da solução geral). A homogênea é
y''+y'-2y=0.
A técnica clássica para equações lineares com coeficientes constantes é tentar uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+r-2=0.
Esta é uma quadrática que fatoriza:
r^2+r-2=(r+2)(r-1)=0,
logo as raízes são r=1 e r=-2. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. (Dica: cada raiz r gera o termo e^{rx}.)

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) para a equação não-homogênea. Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 1, 3x+2, usamos o método dos coeficientes indeterminados e tentamos um polinômio de grau 1:
y_p(x)=ax+b,
onde a e b são constantes a determinar. Antes de aplicar, verificamos se alguma parte dessa tentativa pertence à solução homogênea (ressonância). A solução homogênea é composta por exponenciais e^{x} e e^{-2x}, não por polinômios, então não há ressonância e a tentativa ax+b é adequada.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p e substituímos na equação:
y_p'(x)=a,\qquad y_p''(x)=0.
Substituindo em y''+y'-2y obtém-se
0 + a - 2(ax+b) = -2a\,x + (a-2b).
Esse resultado deve ser igual ao lado direito 3x+2. Igualando coeficientes do polinômio em x temos um sistema linear:
coeficiente de x:
-2a=3 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{3}{2}.
termos constantes:
a-2b=2.
Substituindo a=-\dfrac{3}{2} na segunda equação:
-\frac{3}{2}-2b=2 \quad\Rightarrow\quad -2b=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} \quad\Rightarrow\quad b=-\frac{7}{4}.

Passo 5

Portanto a solução particular é
y_p(x)=-\frac{3}{2}x-\frac{7}{4}.
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-2x}-\frac{3}{2}x-\frac{7}{4}.
(Se quiser verificar na prova: derive duas vezes, some as derivadas como no enunciado e confira que o resultado é 3x+2. Boa! Você já tem a forma que deve apresentar.)

Resposta

y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-2x}-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{7}{4}

Exercícios relacionados